Принцип крайнего. Принцип Дирихле

Среди любых 5 целых чисел есть два, дающих одинаковый остаток при делении на 4.

1. Остатки при делении на 4: $0, 1, 2, 3$ — всего 4 «клетки».
2. Чисел — 5 «зайцев».
3. По принципу Дирихле: 5 > 4 → хотя бы два числа попадут в одну «клетку».
4. Эти два числа дают одинаковый остаток при делении на 4.

Ответ: доказано.

В классе 40 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающих день рождения в одном месяце .

1. Месяцев — 12 «клеток».
2. Учеников — 40 «зайцев».
3. По обобщённому принципу: $\frac{40}{12} = 3\frac{1}{3}$ → найдётся месяц с не менее чем 4 учениками.

Ответ: доказано.

Петя хочет написать на доске 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать?

1. Разобьём числа от 10 до 99 на пары, дающие в сумме 100: $(10,90), (11,89), \ldots, (49,51)$ — всего 40 пар.
2. Остаются числа без пары: $50$ и числа $91, \ldots, 99$ — всего 10 чисел.
3. Всего «клеток»: 40 пар + 10 одиночных = 50.
4. Петя хочет написать 55 чисел > 50 → по принципу Дирихле он обязательно возьмёт два числа из одной пары.
5. Их сумма будет равна 100.

Ответ: нет, не сможет.

На шахматной доске $8\times8$ стоит несколько ладей. Докажите, что какая-то ладья бьёт не более двух других.

1. Рассмотрим самую левую ладью (если таких несколько — самую нижнюю).
2. Она не бьёт ни одной фигуры слева (иначе была бы более левая) и ни одной фигуры снизу (иначе была бы ниже).
3. Значит, она бьёт не более двух: сверху и справа.

Ответ: доказано.

По кругу выписаны числа, каждое равно полусумме двух соседних. Докажите, что все числа равны.

1. Возьмём наибольшее число $b$, его соседи $a$ и $c$.
2. По условию: $2b = a + c$.
3. Так как $b$ — наибольшее, $b \ge a$ и $b \ge c$.
4. Равенство $2b = a + c$ возможно только при $a = b = c$.
5. Повторяя рассуждение для следующей пары, получаем, что все числа равны.

Ответ: доказано.

На доске написано несколько чисел, их среднее арифметическое равно 0. Докажите, что среди них есть как положительное, так и отрицательное число (если не все числа нули).

1. Возьмём наибольшее число. Оно не меньше среднего, равного 0.
2. Если наибольшее равно 0, то все числа равны 0 → противоречие.
3. Значит, наибольшее число > 0.
4. Аналогично, наименьшее число < 0.

Ответ: доказано.

В корзине лежат 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

Решение.

1. «Среди любых 11 грибов есть хотя бы один рыжик» → груздей не больше 10.
2. «Среди любых 16 грибов есть хотя бы один груздь» → рыжиков не больше 15.
3. Всего грибов 25. Если груздей 10, то рыжиков 15.
4. Проверка: 15 рыжиков и 10 груздей. Среди любых 11 грибов обязательно будет рыжик (так как груздей всего 10). Среди любых 16 грибов обязательно будет груздь (так как рыжиков всего 15).

Ответ: 15 рыжиков.