← Маршрут ЕГЭ

Тема 72 из 72 · Повторение и итоги

Полный справочник формул ЕГЭ

Быстрый прогон всех формул, чек-лист перед экзаменом

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Полный справочник формул ЕГЭ

Быстрый прогон всех формул, чек-лист перед экзаменом. Содержит всё необходимое для решения заданий 1–19.

1. Тригонометрия

Основные тождества

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$$

$$1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\qquad 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$$

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad (\cos\alpha\neq0),\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \quad (\sin\alpha\neq0)$$

Чётность функций

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$$

Запомните: синус и тангенс — нечётные, косинус — чётная.

Формулы сложения (ключевые!)

$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$

$$\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{tg}\beta}$$

Правило: у синуса знак сохраняется, у косинуса — меняется.

Формулы двойного угла

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$

$$\operatorname{tg}2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$$

Формулы тройного угла (редко, но полезно)

$$\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$$

$$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$$

Понижение степени (важно!)

$$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$$

$$\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}$$

Сумма → произведение

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$

$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Произведение → сумма

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}$$

$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}$$

$$\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}$$

Универсальная подстановка ($t=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$)

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \operatorname{tg}x=\frac{2t}{1-t^2}$$

Формулы приведения (правило)

$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$, $\frac{3\pi}{2}\pm\alpha$ → функция меняется ($\sin\leftrightarrow\cos$)
$\pi\pm\alpha$, $2\pi\pm\alpha$ → функция не меняется
Знак определяется по четверти исходной функции

Значения тригонометрических функций (выучить!)

Угол	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\sin$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$	$0$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$	$-1$
$\operatorname{tg}$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	—	$0$

2. Производная и первообразная

Таблица производных (обязательно знать!)

$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}$$

$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\operatorname{tg}x)'=\frac{1}{\cos^2x},\qquad (\operatorname{ctg}x)'=-\frac{1}{\sin^2x}$$

$$(e^x)'=e^x,\qquad (a^x)'=a^x\ln a,\qquad (\ln x)'=\frac{1}{x},\qquad (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$$

Правила дифференцирования

$$(f\pm g)'=f'\pm g',\qquad (fg)'=f'g+fg',\qquad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$

$$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x) \quad \text{(цепное правило)}$$

Уравнение касательной

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

$f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha$ — угловой коэффициент касательной.

Таблица первообразных

$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$$

$$\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\qquad \int\cos x\,dx=\sin x+C$$

$$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C,\qquad \int\frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C$$

$$\int e^x dx=e^x+C,\qquad \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$

3. Алгебра

Степени

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}$$

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1,\qquad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m},\qquad a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$$

Корни

$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\qquad \sqrt{a^2}=|a|$$

Логарифмы

$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay,\qquad \log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$

$$\log_ax^n=n\log_ax,\qquad \log_a1=0,\qquad \log_aa=1$$

$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca},\qquad a^{\log_ab}=b$$

Квадратные уравнения

$$D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

$D<0$: нет корней
$D=0$: один корень
$D>0$: два корня

Теорема Виета

Для $x^2+px+q=0$:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q$$

Для $ax^2+bx+c=0$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Прогрессии

Арифметическая:

$$a_n=a_1+(n-1)d,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Геометрическая:

$$b_n=b_1q^{n-1},\qquad S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\ (q\ne1)$$

$$S_{\infty}=\frac{b_1}{1-q}\ (|q|<1)$$

4. Геометрия

Треугольник

$$S=\frac12ah=\frac12ab\sin C=pr=\frac{abc}{4R}$$

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \quad \text{(теорема косинусов)}$$

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \quad \text{(теорема синусов)}$$

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad \text{(формула Герона)}$$

где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.

Четырёхугольники

$$S_{\text{паралл}}=a\cdot h=ab\sin\varphi,\qquad S_{\text{ромба}}=\frac{d_1d_2}{2}$$

$$S_{\text{трапеции}}=\frac{a+b}{2}\cdot h$$

Окружность и круг

$$C=2\pi R,\qquad S=\pi R^2,\qquad l_{\text{дуги}}=\alpha R\ (\alpha\text{ в радианах})$$

$$S_{\text{сектора}}=\frac{\alpha}{2}R^2=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2$$

Объёмы

$$V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}\cdot h,\qquad V_{\text{пирамиды}}=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h$$

$$V_{\text{цилиндра}}=\pi R^2h,\qquad V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi R^2h,\qquad V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3$$

$$V_{\text{параллелепипеда}}=abc,\qquad V_{\text{куба}}=a^3$$

Площади поверхностей

$$S_{\text{бок.призмы}}=P_{\text{осн}}\cdot h,\qquad S_{\text{полн.призмы}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}$$

$$S_{\text{бок.цил}}=2\pi Rh,\qquad S_{\text{полн.цил}}=2\pi R(R+h)$$

$$S_{\text{бок.кон}}=\pi Rl,\qquad S_{\text{полн.кон}}=\pi R(R+l)$$

$$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2$$

Диагонали

$$d_{\text{параллелепипеда}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2},\qquad d_{\text{куба}}=a\sqrt{3},\qquad d_{\text{грани куба}}=a\sqrt{2}$$

Радиусы вписанной и описанной окружностей

$$r=\frac{S}{p},\qquad R=\frac{abc}{4S},\qquad R=\frac{a}{2\sin A}$$

5. Векторы

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi,\qquad |\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

$$\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|},\qquad \vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0$$

$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

6. Теория вероятностей

$$P(A)=\frac{m}{n},\qquad P(A)+P(\overline{A})=1$$

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\ \text{(для независимых)}$$

$$P_n(k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \quad \text{(формула Бернулли)}$$

7. Комбинаторика

$$P_n=n!,\qquad A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},\qquad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

8. Финансовая математика

Сложные проценты:

$$S=S_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n$$

Аннуитетный платёж:

$$x=\frac{S\cdot k^n\cdot(k-1)}{k^n-1},\qquad k=1+\frac{r}{100}$$

Дифференцированный платёж:

$$x_i=\frac{S}{n}+\frac{r}{100}\cdot\frac{n-i+1}{n}\cdot S$$

$$\text{Переплата}=\frac{r}{100}\cdot S\cdot\frac{n+1}{2}$$

9. Сводка формул площадей

Треугольник: $S=\frac12ah$, $S=\frac12ab\sin C$, $S=pr$, $S=\frac{abc}{4R}$, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Прямоугольник: $S=ab$
Квадрат: $S=a^2=\frac{d^2}{2}$
Параллелограмм: $S=ah=ab\sin\varphi$
Ромб: $S=ah=\frac{d_1d_2}{2}$
Трапеция: $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$
Круг: $S=\pi R^2$

10. Чек-лист перед экзаменом

Раздел	Главные формулы
Тригонометрия	$\sin^2+\cos^2=1$, формулы двойного угла, таблица значений
Производная	$(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sin x)'=\cos x$, $(e^x)'=e^x$
Логарифмы	$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$, смена основания
Геометрия	$V_{\text{пир}}=\frac13Sh$, $V_{\text{шар}}=\frac43\pi R^3$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
Финансы	$S=P(1+r)^n$, аннуитет, дифференцированный платёж

Важно

Для максимальной подготовки — знать все формулы наизусть, решать варианты ЕГЭ на время, анализировать ошибки и повторять слабые темы за неделю до экзамена.

← 71. Стратегия экзамена. Распределение време…