← Маршрут ЕГЭ
Тема 1 из 72 · Алгебра

Обыкновенные дроби. Действия с дробями

Сокращение, общий знаменатель, умножение и деление дробей

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Что такое обыкновенная дробь

Дробь $\frac{a}{b}$ — это результат деления числителя $a$ на знаменатель $b$ (знаменатель не равен нулю). Дробь правильная, если числитель по модулю меньше знаменателя ($\frac{3}{5}$), и неправильная, если он больше или равен знаменателю ($\frac{7}{4}$).

Неправильную дробь записывают смешанным числом: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$, потому что $7 : 4 = 1$ и остаток $3$. Обратно: $2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$.

Важно

В вычислениях смешанное число почти всегда удобнее сразу перевести в неправильную дробь — иначе легко потерять целую часть.

Сокращение дроби

Числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число — значение дроби от этого не меняется. Сокращать удобно по шагам: делим на то, что видно сразу (2, 3, 5), пока сокращать станет нечего.

$$\frac{84}{120} = \frac{42}{60} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}$$

Признак в условии: громоздкие числа в дроби

Сначала сокращай, потом считай — работать с $\frac{7}{10}$ гораздо проще, чем с $\frac{84}{120}$.

Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковым знаменателем. Поэтому сначала приводят к общему знаменателю — числу, которое делится на оба знаменателя. Проще всего брать наименьшее такое число.

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$
Пример

Вычислите $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$.

  1. Общий знаменатель — 36: он делится и на 12, и на 18.
  2. $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$ (домножили на 3), $\frac{7}{18} = \frac{14}{36}$ (домножили на 2).
  3. $\frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$.

Ответ: $\frac{29}{36}$

Умножение и деление

Умножение — самое простое действие: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Делить на дробь — значит умножить на перевёрнутую.

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$
Пример

Вычислите $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9}$.

  1. Сокращаем ещё до умножения: 4 и 8 делим на 4, 3 и 9 делим на 3.
  2. Остаётся $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

Пример

Вычислите $\frac{5}{12} : \frac{10}{9}$.

  1. Переворачиваем вторую дробь: $\frac{5}{12} \cdot \frac{9}{10}$.
  2. Сокращаем: 5 и 10 на 5, 9 и 12 на 3 — получаем $\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2}$.
  3. $\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

Сравнение дробей

У дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой больше числитель. У дробей с одинаковым числителем наоборот: больше та, у которой знаменатель меньше ($\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$).

В остальных случаях приводят к общему знаменателю или сравнивают десятичные записи.

Пример

Что больше: $\frac{5}{7}$ или $\frac{7}{10}$?

  1. Общий знаменатель 70: $\frac{5}{7} = \frac{50}{70}$, $\frac{7}{10} = \frac{49}{70}$.
  2. $50 > 49$.

Ответ: больше $\frac{5}{7}$

Дробь и десятичная запись

Дробная черта — это знак деления, поэтому любую дробь можно перевести в десятичную: $\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$.

Если в знаменателе после сокращения остались только двойки и пятёрки, получится конечная десятичная дробь. Иначе — бесконечная периодическая, например $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$

Важно

В ответ на экзамене идёт целое число или конечная десятичная дробь. Числа в заданиях подбирают так, чтобы деление получалось «красивым»: вышла бесконечная дробь — скорее всего, где-то ошибка в вычислениях.

Порядок действий

Сначала скобки, затем умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание. Смешанные числа переводим в неправильные дроби заранее.

Пример

Вычислите $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{6}{5}$.

  1. В скобках общий знаменатель 6: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
  2. $\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = 1$.

Ответ: 1