← Маршрут ЕГЭ
Тема 10 из 72 · Планиметрия

Четырёхугольники параллелограмм, ромб, трапеция

Свойства и признаки параллелограмма, ромба; средняя линия трапеции

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Виды четырёхугольников

Классификация четырёхугольников

Четырёхугольник → Параллелограмм (противоположные стороны попарно параллельны) или Трапеция (только одна пара параллельных сторон).

Параллелограмм → Прямоугольник (все углы прямые) или Ромб (все стороны равны).

Прямоугольник + Ромб → Квадрат.

Трапеция → Равнобедренная трапеция (боковые стороны равны) или Прямоугольная трапеция (один угол прямой).

1. Параллелограмм

Определение: четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства (всегда верны):

  1. Противоположные стороны равны.
  2. Противоположные углы равны.
  3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$.
  4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Признаки (если выполняется хотя бы один — перед нами параллелограмм):

  1. Две противоположные стороны равны и параллельны.
  2. Противоположные стороны попарно равны.
  3. Противоположные углы попарно равны.
  4. Диагонали делятся пополам точкой пересечения.
  5. Сумма углов при одной стороне равна $180°$.

Формулы:

$$S = a \cdot h = ab \cdot \sin\alpha = \tfrac{1}{2} d_1 d_2 \cdot \sin\varphi$$
$$P = 2(a + b)$$

2. Прямоугольник

Определение: параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства: всё, что есть у параллелограмма, плюс диагонали равны ($d_1 = d_2$). Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность (её центр — точка пересечения диагоналей).

Признаки:

  1. Параллелограмм + один угол $90°$.
  2. Параллелограмм + диагонали равны.

Формулы:

$$S = a \cdot b = \tfrac{1}{2} d^2 \cdot \sin\varphi, \qquad d = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad P = 2(a + b)$$

3. Ромб

Определение: параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства: всё, что есть у параллелограмма, плюс диагонали пересекаются под прямым углом ($d_1 \perp d_2$), и каждая диагональ делит свои углы пополам. В ромб всегда можно вписать окружность (её центр — точка пересечения диагоналей).

Признаки:

  1. Параллелограмм + две соседние стороны равны.
  2. Параллелограмм + диагонали перпендикулярны.
  3. Параллелограмм + диагональ делит угол пополам.

Формулы:

$$S = a \cdot h = a^2 \sin\alpha = \tfrac{1}{2} d_1 d_2, \qquad P = 4a$$

4. Квадрат

Определение: прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб с прямыми углами).

Свойства: квадрат сочетает в себе все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами углов. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Признаки:

  1. Прямоугольник + две соседние стороны равны.
  2. Ромб + один угол $90°$.
  3. Параллелограмм + диагонали равны и перпендикулярны.

Формулы:

$$S = a^2 = \tfrac{1}{2} d^2, \qquad P = 4a, \qquad d = a\sqrt{2}$$
$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{2}, \qquad r = \frac{a}{2}$$

5. Трапеция

Определение: четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (их называют основаниями), а две другие — не параллельны (боковые стороны).

Виды: прямоугольная (одна боковая сторона перпендикулярна основаниям), равнобедренная (боковые стороны равны).

Свойства (общие для всех трапеций):

  1. Средняя линия $m = \dfrac{a+b}{2}$ — она параллельна основаниям.
  2. Углы при каждом основании дают в сумме $180°$.

Свойства равнобедренной трапеции: углы при каждом основании равны; диагонали равны; если опустить высоту из вершины, она отсечёт отрезок $\dfrac{a-b}{2}$.

Признаки равнобедренной трапеции:

  1. Углы при основании равны.
  2. Диагонали равны.

Формулы:

$$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h, \qquad h_{\text{равноб.}} = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$
← 9. Треугольник. Подобие. Теорема Пифагора