← Маршрут ЕГЭ
Тема 11 из 72 · Вероятность

Теория вероятностей от классической до Бернулли

P(A)=m/n, условная вероятность, формула Бернулли

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Классическая вероятность

Основные понятия:

  • Элементарный исход — один из возможных результатов опыта (например, выпал «орёл»)
  • Равновозможные исходы — исходы, которые имеют одинаковые шансы произойти
  • Событие $A$ — совокупность исходов, которые нас интересуют
  • Благоприятные исходы ($m$) — исходы, при которых событие $A$ наступает
  • Общее число исходов ($n$) — все возможные исходы опыта

Формула классической вероятности:

$$P(A) = \frac{m}{n}$$

Сложение вероятностей (для несовместных событий — тех, что не могут произойти одновременно):

$$P(A + B) = P(A) + P(B)$$
Пример 1

Из стандартной колоды 52 карты случайно достают одну карту. Какова вероятность, что это туз?

Общее число исходов: $n = 52$. Благоприятные: $m = 4$ (четыре туза).

$P = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$

Ответ: $\dfrac{1}{13}$

2. Комбинаторика — подсчёт исходов

Основные формулы:

  • Перестановки: $P(n) = n!$ — сколько способов переставить все элементы
  • Размещения: $A(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ — выбрать и упорядочить $k$ из $n$
  • Сочетания: $C(n,k) = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — выбрать $k$ из $n$ (порядок не важен)

Важные свойства сочетаний: $C(n,0) = C(n,n) = 1$; $C(n,1) = n$; $C(n,k) = C(n,n-k)$.

Запомнить: $C(4,2) = 6$, $C(5,2) = 10$, $C(6,2) = 15$, $C(5,3) = 10$.

Пример 2

В ящике 3 красных и 5 синих шаров. Наугад достают 2 шара без возврата. Какова вероятность, что оба красные?

Общее число исходов: $n = C(8,2) = \dfrac{8!}{2! \cdot 6!} = 28$

Благоприятные: $m = C(3,2) = 3$

$P = \dfrac{3}{28}$

Ответ: $\dfrac{3}{28}$

3. Условная вероятность и полная вероятность

Условная вероятность: $P(A|B)$ — вероятность события $A$ при условии, что $B$ уже произошло.

Полная вероятность: если гипотезы $B_1, B_2, \ldots, B_n$ образуют полную группу (попарно несовместны, в сумме дают 1):

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$$
Важно

Дерево вероятностей: по ветви — вероятности умножаются (события происходят последовательно). По развилке (ИЛИ) — вероятности складываются (подходят несколько путей).

Пример 3

В первой урне 2 белых и 3 чёрных шара. Во второй — 4 белых и 1 чёрный. Из первой перекладывают один шар во вторую, затем из второй достают один. Какова вероятность достать белый?

Если переложили белый ($P = \frac{2}{5}$): во второй стало 5Б + 1Ч → $P(\text{б}) = \frac{5}{6}$

Если переложили чёрный ($P = \frac{3}{5}$): во второй стало 4Б + 2Ч → $P(\text{б}) = \frac{4}{6}$

$P = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$

Ответ: $\dfrac{11}{15}$

4. Схема Бернулли

Определение: серия из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха $p$ (постоянна), вероятность неудачи $q = 1 - p$ (постоянна).

Формула Бернулли:

$$P(k, n) = C(n,k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

Частые случаи:

  • Хотя бы один успех: $1 - P(0) = 1 - q^n$
  • Хотя бы $k$ успехов: $1 - P(0) - P(1) - \ldots - P(k-1)$

Числовые характеристики:

  • Наиболее вероятное число успехов $k_0$: $np - q \le k_0 \le np + p$
  • Математическое ожидание: $M = np$
  • Дисперсия: $D = npq$
Пример 4

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найдите вероятность ровно 3 попаданий.

$n = 4$, $k = 3$, $p = 0{,}7$, $q = 0{,}3$

$P(3,4) = C(4,3) \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116$

Ответ: $0{,}4116$

Пример 5

Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность хотя бы одного орла?

Проще через противоположное событие (ни одного орла = все решки):

$P(0) = C(5,0) \cdot 0{,}5^0 \cdot 0{,}5^5 = \dfrac{1}{32}$

$P(\text{хотя бы один}) = 1 - \dfrac{1}{32} = \dfrac{31}{32}$

Ответ: $\dfrac{31}{32}$

← 10. Четырёхугольники параллелограмм, ромб, …