← Маршрут ЕГЭ
Тема 12 из 72 · Вероятность

Математическая статистика

Математическое ожидание, дисперсия, распределения

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 5 разделов
  1. 1. Случайная величина и распределение вероятностей
  2. 2. Математическое ожидание
  3. 3. Дисперсия и стандартное отклонение
  4. 4. Мода и медиана выборки
  5. 5. Неравенство Чебышева

1. Случайная величина и распределение вероятностей

Случайная величина $X$ — величина, которая в результате опыта принимает одно из нескольких возможных значений, причём заранее неизвестно, какое именно.

Дискретная случайная величина принимает конечное (или счётное) число значений. Её закон распределения — таблица, сопоставляющая каждому значению его вероятность:

$$\begin{array}{c|cccc} X & x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \ldots & p_n \end{array}, \qquad \sum_{i=1}^{n} p_i = 1$$
Важно

Сумма вероятностей в таблице распределения всегда равна 1. Если в задаче дана таблица с пропущенной вероятностью — её находят из этого условия.

Пример 1

Случайная величина $X$ задана таблицей: значения $1, 2, 3$ с вероятностями $0{,}2$, $p$, $0{,}5$. Найдите $p$.

$0{,}2 + p + 0{,}5 = 1 \Rightarrow p = 0{,}3$

Ответ: $0{,}3$

2. Математическое ожидание

Математическое ожидание $M(X)$ — среднее значение случайной величины с учётом того, как часто встречается каждое из её значений. Это «центр тяжести» распределения.

$$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$$

Для случая, когда величина задана не таблицей вероятностей, а таблицей частот (например, выигрыш на билет лотереи, где известно количество билетов каждого номинала из общего тиража), вероятность каждого значения — это его доля от общего числа исходов:

$$M(X) = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \ldots + x_k n_k}{N}, \qquad N = n_1 + n_2 + \ldots + n_k$$
Пример 2 (задача про лотерею — типовая формулировка ЕГЭ)

Организаторы лотереи выпустили 2000 билетов. Выигрыши: 500 билетов по 20 рублей, 100 билетов по 500 рублей, 5 билетов по 3000 рублей, остальные без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет.

Число билетов без выигрыша: $2000 - 500 - 100 - 5 = 1395$.

$M(X) = \dfrac{20 \cdot 500 + 500 \cdot 100 + 3000 \cdot 5 + 0 \cdot 1395}{2000} = \dfrac{10000 + 50000 + 15000}{2000} = \dfrac{75000}{2000} = 37{,}5$

Ответ: $37{,}5$ рублей

Свойства математического ожидания (пригождаются для задач с суммой или заменой величины):

  • $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$ — ожидание суммы равно сумме ожиданий
  • $M(aX + b) = a \cdot M(X) + b$ — линейное преобразование величины
  • Для схемы Бернулли ($n$ испытаний, вероятность успеха $p$): $M(X) = np$

3. Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия $D(X)$ измеряет, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг математического ожидания. Чем больше дисперсия — тем менее предсказуем результат отдельного испытания.

$$D(X) = M\big((X - M(X))^2\big) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2$$

На практике удобнее вторая форма: посчитать $M(X^2)$ (ожидание квадратов значений) и вычесть квадрат уже найденного $M(X)$.

Стандартное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$ — та же мера разброса, но в тех же единицах, что и сама величина (дисперсия — в квадратных единицах, поэтому напрямую сравнивать её со значениями величины нельзя).

Пример 3

Случайная величина $X$ задана таблицей: значения $0, 1, 2$ с вероятностями $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$. Найдите дисперсию $D(X)$.

$M(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}7$

$M(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}5 + 1^2 \cdot 0{,}3 + 2^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}8 = 1{,}1$

$D(X) = 1{,}1 - 0{,}7^2 = 1{,}1 - 0{,}49 = 0{,}61$

Ответ: $0{,}61$

Для схемы Бернулли ($n$ испытаний, вероятность успеха $p$, неудачи $q = 1-p$):

$$D(X) = npq$$
Пример 4

Вероятность успеха в каждом из 150 независимых испытаний равна $0{,}4$. Найдите дисперсию числа успехов.

$D(X) = np(1-p) = 150 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 36$

Ответ: $36$

4. Мода и медиана выборки

Для набора реальных данных (а не теоретического распределения) используют ещё две характеристики:

  • Мода — значение, встречающееся чаще всего.
  • Медиана — значение, стоящее в середине выборки, упорядоченной по возрастанию. Если элементов чётное число — среднее арифметическое двух центральных.
Пример 5

Результаты теста (баллы): $3, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9$. Найдите моду и медиану.

Мода — значение с наибольшей частотой: $8$ встречается 3 раза, чаще остальных. Мода $= 8$.

Медиана — в упорядоченном ряду из 9 чисел это 5-е (центральное) значение: $3,5,5,6,\underline{7},8,8,8,9$. Медиана $= 7$.

Ответ: мода $8$, медиана $7$

5. Неравенство Чебышева

Когда нужно. Про случайную величину известно только среднее значение $M(X)$ и разброс — дисперсия $D(X)$ или стандартное отклонение $\sigma$. Таблицы распределения нет, поэтому точную вероятность не посчитать. Неравенство Чебышева даёт гарантированную верхнюю оценку: вероятность сильно отклониться от среднего не больше определённого числа.

$$P\big(|X - M(X)| \ge \varepsilon\big) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$$

Читается так: вероятность того, что $X$ отличается от своего среднего на $\varepsilon$ или больше, не превосходит дисперсию, делённую на $\varepsilon^2$.

  • $\varepsilon$ («эпсилон») — на сколько величина отклоняется от среднего. Берётся прямо из условия: «отличается от средней более чем на 50 м» → $\varepsilon = 50$.
  • Если дано стандартное отклонение $\sigma$, то $D(X) = \sigma^2$, и формула становится совсем простой: $\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2} = \left(\dfrac{\sigma}{\varepsilon}\right)^2$.
  • «Отличается более чем на $\varepsilon$» (строгое неравенство) оценивается тем же числом: такое событие — часть события «на $\varepsilon$ или больше», значит, его вероятность тоже не больше $\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$.
  • Само среднее в ответ не входит — важны только разброс $D(X)$ и допустимое отклонение $\varepsilon$.
  • Среднее в задачах часто обозначают $E(X)$ — это то же самое, что $M(X)$.

Если спрашивают, наоборот, вероятность остаться близко к среднему, нужна оценка снизу — это противоположное событие:

$$P\big(|X - M(X)| < \varepsilon\big) \ge 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$$

Алгоритм

  1. Выпишите $D(X)$. Если дано стандартное отклонение — возведите его в квадрат.
  2. Найдите $\varepsilon$ — на сколько разрешено отклониться от среднего. Если событие записано границами («$X \le a$ или $X \ge b$»), $\varepsilon$ — расстояние от $M(X)$ до каждой границы (оно одинаковое).
  3. Посчитайте $\dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$ — это верхняя оценка. Для вероятности «остаться близко» вычтите её из 1.
Важно

Не путайте дисперсию и стандартное отклонение: в числитель идёт $D(X) = \sigma^2$. Если сказано «стандартное отклонение равно 30», в формулу ставим $30^2 = 900$, а не $30$.

Пример 6

Средняя длина нити в мотке пряжи равна 600 м, а стандартное отклонение равно 30 м. При помощи неравенства Чебышева найдите верхнюю оценку вероятности события «длина нити в случайно выбранном мотке отличается от средней более чем на 50 м».

1) Разброс: $\sigma = 30$, значит $D(X) = 30^2 = 900$.

2) Отклонение: «отличается от средней более чем на 50 м» — это $|X - 600| > 50$, то есть $\varepsilon = 50$.

3) Оценка: $P\big(|X - 600| > 50\big) \le \dfrac{D(X)}{\varepsilon^2} = \dfrac{900}{50^2} = \dfrac{900}{2500} = 0{,}36$.

Средняя длина 600 м в расчёт не вошла — она лишь задаёт, от чего отсчитывается отклонение.

Ответ: $0{,}36$

← 11. Теория вероятностей от классической до …