← Маршрут ЕГЭ
Тема 13 из 72 · Планиметрия

Площади фигур. Формула Герона. Метод площадей

S=½ab·sinC, формула Герона, отношение площадей подобных фигур

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Площадь треугольника

Основные формулы:

  • $S = \dfrac{1}{2} a h$ — основание $a$ и высота $h$ к нему
  • $S = \dfrac{1}{2} a b \cdot \sin C$ — две стороны $a, b$ и угол $C$ между ними
  • $S = \dfrac{abc}{4R}$ — три стороны и радиус описанной окружности $R$
  • $S = p \cdot r$ — полупериметр $p$ и радиус вписанной окружности $r$
  • $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — формула Герона (только три стороны)

Частные случаи:

  • Прямоугольный: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b$ (где $a, b$ — катеты)
  • Равносторонний: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (где $a$ — сторона)
  • Равнобедренный: $S = \dfrac{1}{2} a^2 \cdot \sin\alpha$ (где $a$ — боковая сторона, $\alpha$ — угол при вершине)
Пример 1

Найдите площадь треугольника со сторонами $5, 12, 13$.

Проверяем: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ → прямоугольный. Катеты: 5 и 12.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

Ответ: $30$

Пример 2

Найдите площадь треугольника со сторонами $7, 8, 9$.

$p = \dfrac{7+8+9}{2} = 12$

$S = \sqrt{12 \cdot (12-7) \cdot (12-8) \cdot (12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$

Ответ: $12\sqrt{5}$

Пример 3

В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ делит его на два треугольника. Чему равны их площади, если $S(ABC) = 48$?

Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади).

$S_1 = S_2 = 48 : 2 = 24$

Ответ: $24$ и $24$

2. Метод площадей

Суть метода: одну и ту же площадь фигуры можно выразить разными способами. Приравнивая эти выражения, получаем уравнение для нахождения неизвестной величины (высоты, стороны, радиуса и т.д.).

Основные приёмы:

  • Если два треугольника имеют общую высоту, то их площади относятся как основания: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$.
  • Если два треугольника имеют общее основание, то их площади относятся как высоты: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{h_1}{h_2}$.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
  • Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.
Пример 1 (общая высота)

Два треугольника имеют общую высоту. Их основания равны 5 и 7. Найдите отношение их площадей.

При одинаковой высоте: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{5}{7}$.

Ответ: $5:7$

Пример 2 (выражение высоты)

В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 10$, $AC = 6$, угол между ними $30°$. Найдите высоту, опущенную на сторону $AB$.

Площадь через две стороны и угол: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 30° = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 15$.

С другой стороны: $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 5h$.

Приравниваем: $5h = 15 \Rightarrow h = 3$.

Ответ: $h = 3$.

Пример 3 (медиана)

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Площадь треугольника $ABC$ равна 40. Найдите площадь треугольника $ABM$.

Медиана делит треугольник на два равновеликих: $S_{ABM} = S_{MBC} = \dfrac{S_{ABC}}{2} = 20$.

Ответ: $S_{ABM} = 20$.

Важно

Метод площадей — мощный инструмент, когда высота или сторона неизвестны. Приравнивайте площадь, найденную разными способами, и получайте уравнение!

3. Площадь четырёхугольников

Формулы по фигурам:

  • Параллелограмм: $S = a \cdot h_a = ab \cdot \sin\alpha = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \cdot \sin\varphi$
  • Прямоугольник: $S = a \cdot b$
  • Ромб: $S = a \cdot h = a^2 \sin\alpha = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$ (диагонали $\perp$)
  • Квадрат: $S = a^2 = \dfrac{1}{2} d^2$
  • Трапеция: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h$ (где $m$ — средняя линия)
  • Произвольный четырёхугольник: $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \cdot \sin\varphi$ (где $\varphi$ — угол между диагоналями)
Важно

Формула $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \cdot \sin\varphi$ работает для любого четырёхугольника, если известен угол между диагоналями. Для ромба $\varphi = 90°$, поэтому $\sin\varphi = 1$ → $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$. Для квадрата $d_1 = d_2 = d$, $\varphi = 90°$ → $S = \dfrac{1}{2} d^2$.

← 12. Математическая статистика