Тема 14 из 72 · Тригонометрия

Введение в тригонометрию. Тригонометрическая окружность

sin, cos, tg, ctg; знаки по четвертям, радианная мера угла

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Тригонометрические функции

В прямоугольном треугольнике (для острых углов):

$$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \qquad \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$

На единичной окружности (для любых углов):

Единичная окружность — окружность с радиусом $R = 1$ и центром в начале координат. Начинаем от положительного направления оси $Ox$ (это $0°$), откладываем угол $\alpha$ против часовой стрелки. Точка пересечения радиуса с окружностью — точка $M$:

$$M(\cos\alpha;\, \sin\alpha)$$

Косинус — координата $x$ точки на окружности. Синус — координата $y$.

Область значений:

$$-1 \le \sin\alpha \le 1, \qquad -1 \le \cos\alpha \le 1$$

$$\operatorname{tg}\alpha \in \mathbb{R}\ (\cos\alpha \ne 0), \qquad \operatorname{ctg}\alpha \in \mathbb{R}\ (\sin\alpha \ne 0)$$

2. Ориентация на тригонометрической окружности

Положительный угол — против часовой стрелки
Отрицательный угол — по часовой стрелке
Полный оборот: $360° = 2\pi$ радиан
Четверти: I: $0°$–$90°$; II: $90°$–$180°$; III: $180°$–$270°$; IV: $270°$–$360°$

3. Знаки по четвертям

Правило «Все Студенты Так Считают»:

I четверть ($0°$–$90°$): все функции $+$
II четверть ($90°$–$180°$): только $\sin +$
III четверть ($180°$–$270°$): только $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg} +$
IV четверть ($270°$–$360°$): только $\cos +$

4. Таблица стандартных значений (выучить наизусть!)

Тригонометрическая окружность со стандартными значениями

$$\alpha = 0°:\ \sin = 0,\ \cos = 1,\ \operatorname{tg} = 0$$

$$\alpha = 30°\ \left(\tfrac{\pi}{6}\right):\ \sin = \tfrac{1}{2},\ \cos = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\ \operatorname{tg} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\alpha = 45°\ \left(\tfrac{\pi}{4}\right):\ \sin = \tfrac{\sqrt{2}}{2},\ \cos = \tfrac{\sqrt{2}}{2},\ \operatorname{tg} = 1$$

$$\alpha = 60°\ \left(\tfrac{\pi}{3}\right):\ \sin = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\ \cos = \tfrac{1}{2},\ \operatorname{tg} = \sqrt{3}$$

$$\alpha = 90°\ \left(\tfrac{\pi}{2}\right):\ \sin = 1,\ \cos = 0,\ \operatorname{tg}\ \text{не опр.}$$

Пример 1

Найдите координаты точки на единичной окружности для угла $30°$.

$\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $M\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\, \dfrac{1}{2}\right)$.

5. Перевод углов (градусы ↔ радианы)

$$\alpha_{\text{рад}} = \alpha° \cdot \frac{\pi}{180}, \qquad \alpha° = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180}{\pi}$$

Пример 2

Вычислите: $\sin^2 30° + \cos^2 30°$.

По основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Ответ: $1$

Пример 3

Переведите $210°$ в радианы.

$210° \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}$

Ответ: $\dfrac{7\pi}{6}$

6. Формулы приведения

Главное правило: знак определяем по исходной функции в той четверти, где находится угол.

Если аргумент вида $(\pi \pm \alpha)$ или $(2\pi \pm \alpha)$ — функция сохраняется ($\sin \to \sin$, $\cos \to \cos$)
Если аргумент вида $\left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)$ или $\left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right)$ — функция меняется ($\sin \leftrightarrow \cos$)

Основные формулы приведения:

$$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha, \quad \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha, \quad \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$$

$$\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha$$

$$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha, \quad \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$$

$$\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha, \quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$$

Пример 4

Вычислите: $\sin 150°$.

$150° = 180° - 30° = \pi - 30°$

$\sin(180° - 30°) = \sin 30°$ (функция сохраняется, знак $+$, т.к. II четверть)

$\sin 150° = \dfrac{1}{2}$

Ответ: $\dfrac{1}{2}$

7. Тождества (основные формулы)

Основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Следствия:

$$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$$

Пример 5

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ и $\alpha$ во II четверти.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$

$\cos\alpha = \pm\dfrac{4}{5}$

Во II четверти $\cos\alpha < 0$, значит $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$

Ответ: $-\dfrac{4}{5}$

8. Сводная таблица

Синус (окружность) — координата $y$ точки на единичной окружности
Косинус (окружность) — координата $x$ точки на единичной окружности
Тангенс: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Область значений $\sin, \cos$: $[-1;\, 1]$
Основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Перевод в радианы: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha° \cdot \dfrac{\pi}{180}$
Знаки: I — все $+$; II — только $\sin$; III — $\operatorname{tg}$; IV — $\cos$
Приведение: $(\pi \pm \alpha)$ — функция сохраняется; $\left(\frac{\pi}{2} \pm \alpha\right)$ — функция меняется

← 13. Площади фигур. Формула Герона. Метод пл… 15. Графики функций. Преобразования →