Графики функций. Преобразования

Содержание 12 разделов

1. 1. Основные элементарные функции и их графики
2. Линейная функция $y = kx + b$
3. Квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$
4. Обратная пропорциональность $y = \frac{k}{x}$
5. Степенная функция $y = x^n$
6. Показательная функция $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$)
7. Логарифмическая функция $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$)
8. Тригонометрические функции
9. 2. Преобразования графиков функций
10. 3. Чётность и нечётность функций
11. 4. Монотонность функций
12. 5. Типовые задачи из ЕГЭ

1. Основные элементарные функции и их графики

Линейная функция $y = kx + b$

График: прямая линия. Коэффициент $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона). При $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ — убывает. $b$ — точка пересечения с осью $Oy$.

Квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$

График: парабола. $a > 0$ — ветви вверх (минимум), $a < 0$ — ветви вниз (максимум).

Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$.

Формула разложения: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1, x_2$ — корни.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ определяет пересечение с осью $Ox$:

• $D > 0$: два корня (пересекает $Ox$ в двух точках)
• $D = 0$: один корень (касается $Ox$)
• $D < 0$: корней нет (не пересекает $Ox$)

Обратная пропорциональность $y = \frac{k}{x}$

График: гипербола. $k > 0$ — ветви в I и III четвертях, $k < 0$ — во II и IV.

Асимптоты: $x = 0$ (вертикальная) и $y = 0$ (горизонтальная). Функция убывает на каждом интервале области определения.

Степенная функция $y = x^n$

При $n$ нечётном ($n = 1, 3, 5...$): функция нечётная, возрастает на всей области определения, график проходит через начало координат.

При $n$ чётном ($n = 2, 4, 6...$): функция чётная, убывает на $(-\infty;0)$ и возрастает на $(0;+\infty)$.

При $n$ отрицательном: $y = \frac{1}{x^n}$ (гиперболический тип).

Показательная функция $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$)

При $a > 1$: возрастает на всей области определения ($\mathbb{R}$).

При $0 < a < 1$: убывает на всей области определения.

График проходит через точку $(0;1)$, асимптота: $y = 0$.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$)

При $a > 1$: возрастает на $(0;+\infty)$.

При $0 < a < 1$: убывает на $(0;+\infty)$.

График проходит через точку $(1;0)$, асимптота: $x = 0$.

Тригонометрические функции

$y = \sin x$: нечётная, периодическая ($T = 2\pi$), область значений $[-1;1]$.

$y = \cos x$: чётная, периодическая ($T = 2\pi$), область значений $[-1;1]$.

$y = \operatorname{tg} x$: нечётная, периодическая ($T = \pi$), область значений $\mathbb{R}$.

$y = \operatorname{ctg} x$: нечётная, периодическая ($T = \pi$), область значений $\mathbb{R}$.

2. Преобразования графиков функций

Исходный график	Преобразование	Новый график	Пример
$y = f(x)$	$y = f(x) + a$	Сдвиг вверх на $a$	$y = x^2 + 2$ (парабола сдвинута вверх на 2)
$y = f(x)$	$y = f(x) - a$	Сдвиг вниз на $a$	$y = x^2 - 3$ (парабола сдвинута вниз на 3)
$y = f(x)$	$y = f(x + a)$	Сдвиг влево на $a$	$y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ (сдвиг влево на $\frac{\pi}{2}$)
$y = f(x)$	$y = f(x - a)$	Сдвиг вправо на $a$	$y = \sqrt{x - 1}$ (сдвиг вправо на 1)
$y = f(x)$	$y = -f(x)$	Отражение по $Ox$	$y = -x^2$ (парабола вниз)
$y = f(x)$	$y = f(-x)$	Отражение по $Oy$	$y = \cos(-x) = \cos x$ (без изменений)

Важно! Порядок преобразований имеет значение: сначала преобразования аргумента (горизонтальные), затем — функции (вертикальные).

3. Чётность и нечётность функций

Чётные функции	Нечётные функции
$y = x^2$, $y = x^4$, $y = |x|$	$y = x$, $y = x^3$, $y = \frac{1}{x}$
$y = \cos x$	$y = \sin x$, $y = \operatorname{tg} x$
$y = \text{const}$	$y = \operatorname{ctg} x$

4. Монотонность функций

Функция возрастает, если при $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.

Функция убывает, если при $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$.

Функция	Монотонность
$y = kx + b$ ($k > 0$)	Возрастает на $\mathbb{R}$
$y = kx + b$ ($k < 0$)	Убывает на $\mathbb{R}$
$y = x^2$	Убывает на $(-\infty;0)$, возрастает на $(0;+\infty)$
$y = \frac{1}{x}$	Убывает на $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$
$y = a^x$ ($a > 1$)	Возрастает на $\mathbb{R}$
$y = \log_a x$ ($a > 1$)	Возрастает на $(0;+\infty)$

5. Типовые задачи из ЕГЭ