← Маршрут ЕГЭ
Тема 16 из 72 · Алгебра

Текстовые задачи движение, работа, смеси

Скорость, время, расстояние; производительность; доли в смеси

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 14 разделов
  1. 1. Общий алгоритм решения текстовых задач
  2. 2. Задачи на движение
  3. Базовые формулы
  4. Движение по реке
  5. Таблица для задач на движение
  6. 3. Задачи на работу
  7. Базовые понятия
  8. Совместная работа
  9. Таблица для задач на работу
  10. 4. Задачи на смеси, сплавы и концентрацию
  11. Базовое уравнение
  12. Задачи на «сухое вещество»
  13. Таблица для задач на смеси
  14. 5. Типовые задачи ЕГЭ (задание №10) с разбором

1. Общий алгоритм решения текстовых задач

Любая текстовая задача решается по единому алгоритму. Запомните эти 5 шагов — они работают для всех типов задач!

  1. Внимательно прочитайте условие. Выделите все величины, о которых говорится в задаче.
  2. Выберите неизвестную. Обозначьте через $x$ ту величину, которую нужно найти (или ту, через которую легко выразить всё остальное).
  3. Составьте таблицу или схему. Запишите все данные в таблицу: объекты, величины, формулы. Это поможет ничего не упустить.
  4. Составьте уравнение. Найдите в условии связь между объектами («встретились», «обогнал», «опоздал», «смешали»). Запишите это соотношение как уравнение.
  5. Решите уравнение и проверьте ответ. Найдите $x$. Обязательно проверьте, что ответ имеет смысл (скорость не может быть отрицательной, время — тоже).
Важно

Главная ошибка — забыть про размерность! Если скорость в км/ч, время в часах, то расстояние в километрах. Если производительность в деталях/час, то время в часах, а работа в деталях.

2. Задачи на движение

Базовые формулы

$$s = v \cdot t \quad \text{(расстояние = скорость × время)}$$

Скорость сближения при движении навстречу:

$$v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2$$

Скорость сближения при движении вдогонку:

$$v_{\text{сбл}} = v_1 - v_2 \quad (v_1 > v_2)$$

Средняя скорость на всём пути:

$$v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{всего}}}{t_{\text{всего}}}$$

Ни в коем случае не усредняйте скорости напрямую! Средняя скорость — это весь путь делить на всё время.

Движение по реке

$$v_{\text{по течению}} = v_{\text{лодки}} + v_{\text{течения}}$$
$$v_{\text{против течения}} = v_{\text{лодки}} - v_{\text{течения}}$$

Если лодка плывёт вниз и вверх на одно и то же расстояние $S$, то:

$$t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = t_{\text{общее}}$$

Таблица для задач на движение

Объект Скорость Время Расстояние
Первый $v_1$ $t_1$ $s_1 = v_1 \cdot t_1$
Второй $v_2$ $t_2$ $s_2 = v_2 \cdot t_2$

Заполняйте таблицу — это структурирует данные и помогает найти связь.

3. Задачи на работу

Базовые понятия

Работа $A$ измеряется в единицах работы (деталях, заказах, бассейнах). Обычно всю работу принимают за единицу: $A = 1$.

$$A = p \cdot t \quad \text{(работа = производительность × время)}$$
$$\text{Производительность} = \frac{1}{t} \quad \text{(доля работы за единицу времени)}$$

Важно: Если работник выполняет всю работу за $t$ часов, то за 1 час он выполняет $\frac{1}{t}$ часть работы.

Совместная работа

При совместной работе производительности складываются:

$$p_{\text{общ}} = p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$$

Время совместной работы:

$$T = \frac{1}{p_{\text{общ}}} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$$

Частный случай: Если один работник работал $x$ часов, а другой $T-x$ часов, и вместе они выполнили всю работу:

$$\frac{x}{t_1} + \frac{T-x}{t_2} = 1$$

Таблица для задач на работу

Объект Производительность Время Работа
Первый $p_1 = \frac{1}{t_1}$ $t_1$ $A_1 = p_1 \cdot t_1$
Второй $p_2 = \frac{1}{t_2}$ $t_2$ $A_2 = p_2 \cdot t_2$

4. Задачи на смеси, сплавы и концентрацию

Базовое уравнение

При смешивании масса вещества сохраняется:

$$c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2 = c_3 \cdot (m_1 + m_2)$$

где $c$ — концентрация (доля вещества), $m$ — масса смеси.

Важно: Концентрация — это доля (от 0 до 1). Чтобы перевести проценты в долю, разделите на 100: $30\% = 0{,}3$.

Итоговая концентрация всегда между исходными:

$$\min(c_1, c_2) \le c_3 \le \max(c_1, c_2)$$

Если ответ выходит за эти пределы — вы ошиблись!

Задачи на «сухое вещество»

Часто в задачах есть вещество, которое не меняется (например, сухое вещество в фруктах, соль в растворе).

Алгоритм:

  1. Найдите массу сухого вещества, которое не меняется.
  2. Выразите эту массу через начальные и конечные данные.
  3. Приравняйте — получите уравнение.

Таблица для задач на смеси

Раствор/смесь Масса Концентрация Масса вещества
Первый $m_1$ $c_1$ $c_1 \cdot m_1$
Второй $m_2$ $c_2$ $c_2 \cdot m_2$
Смесь $m_1 + m_2$ $c_3$ $c_3 \cdot (m_1 + m_2)$

5. Типовые задачи ЕГЭ (задание №10) с разбором

Задача 1 (Движение, ЕГЭ)

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 180 км, выехал автомобиль. Через 30 минут из пункта B в пункт A выехал мотоциклист со скоростью на 20 км/ч меньше скорости автомобиля. Найдите скорость автомобиля, если они встретились через 2 часа после выезда мотоциклиста.

Решение:

  1. Пусть $x$ км/ч — скорость автомобиля. Тогда скорость мотоциклиста $(x-20)$ км/ч.
  2. Автомобиль ехал $2 + 0{,}5 = 2{,}5$ часа (30 минут = 0,5 ч). Мотоциклист ехал 2 часа.
  3. Составляем уравнение: автомобиль проехал $2{,}5x$ км, мотоциклист — $2(x-20)$ км. Вместе они проехали 180 км.
  4. $2{,}5x + 2(x-20) = 180$
  5. $2{,}5x + 2x - 40 = 180$ → $4{,}5x = 220$ → $x = \frac{220}{4{,}5} = 48{,}89$

Ответ: скорость автомобиля $48{,}9$ км/ч (округляем до десятых).

Задача 2 (Работа, ЕГЭ)

Два экскаватора, работая одновременно, вырыли котлован за 6 часов. Первый экскаватор, работая отдельно, может вырыть этот котлован на 5 часов быстрее, чем второй. За сколько часов может вырыть котлован второй экскаватор, работая отдельно?

Решение:

  1. Пусть второй экскаватор вырывает котлован за $x$ часов. Тогда первый — за $(x-5)$ часов.
  2. Производительности: $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x-5}$.
  3. Совместная производительность: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6}$.
  4. $\frac{x-5 + x}{x(x-5)} = \frac{1}{6}$ → $\frac{2x-5}{x^2-5x} = \frac{1}{6}$
  5. $6(2x-5) = x^2 - 5x$ → $12x - 30 = x^2 - 5x$ → $x^2 - 17x + 30 = 0$
  6. Решаем: $x = 15$ или $x = 2$ (не подходит, так как первый был бы быстрее на 5 часов: $2-5 = -3$).

Ответ: 15 часов.

Задача 3 (Смеси, ЕГЭ)

Смешали 200 г 20%-го раствора соли и 300 г 40%-го раствора соли. Сколько граммов соли содержится в получившемся растворе?

Решение:

  1. Масса соли в первом растворе: $200 \cdot 0{,}2 = 40$ г.
  2. Масса соли во втором растворе: $300 \cdot 0{,}4 = 120$ г.
  3. Общая масса соли: $40 + 120 = 160$ г.
  4. Общая масса раствора: $200 + 300 = 500$ г.
  5. Концентрация: $\frac{160}{500} = 0{,}32 = 32\%$.

Ответ: 160 г соли (или 32% концентрация).

Задача 4 (Средняя скорость, ЕГЭ)

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

Решение:

  1. Пусть весь путь равен $2S$ км (тогда половина пути — $S$ км).
  2. Время на первой половине: $t_1 = \frac{S}{60}$ ч.
  3. Время на второй половине: $t_2 = \frac{S}{90}$ ч.
  4. Общее время: $t = \frac{S}{60} + \frac{S}{90} = \frac{3S + 2S}{180} = \frac{5S}{180} = \frac{S}{36}$.
  5. Средняя скорость: $v_{\text{ср}} = \frac{2S}{t} = \frac{2S}{S/36} = 72$ км/ч.

Ответ: 72 км/ч. (Не 75! Среднее арифметическое скоростей не работает!)

Задача 5 (Движение по реке, ЕГЭ)

Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 13 км/ч.

Решение:

  1. Пусть $x$ км/ч — скорость течения.
  2. Скорость по течению: $13 + x$. Против течения: $13 - x$.
  3. Время по течению: $\frac{30}{13+x}$. Время против течения: $\frac{30}{13-x}$.
  4. Общее время: $\frac{30}{13+x} + \frac{30}{13-x} = 5$.
  5. Умножаем обе части на $(13+x)(13-x)$: $30(13-x) + 30(13+x) = 5(13-x)(13+x)$
  6. $390 - 30x + 390 + 30x = 5(169 - x^2)$ → $780 = 845 - 5x^2$
  7. $5x^2 = 65$ → $x^2 = 13$ → $x = \sqrt{13} \approx 3{,}6$ км/ч.

Ответ: $\sqrt{13} \approx 3{,}6$ км/ч.

Задача 6 (Сухое вещество, ЕГЭ)

Свежие грибы содержат 90% воды, сухие — 12% воды. Сколько килограммов сухих грибов получится из 44 кг свежих?

Решение:

  1. В свежих грибах: вода = 90%, сухое вещество = 10%.
  2. Масса сухого вещества в 44 кг свежих: $44 \cdot 0{,}1 = 4{,}4$ кг.
  3. В сухих грибах: вода = 12%, значит сухое вещество = 88%.
  4. Пусть $x$ кг — масса сухих грибов. Тогда сухое вещество в них: $0{,}88x$.
  5. Сухое вещество не меняется: $0{,}88x = 4{,}4$ → $x = \frac{4{,}4}{0{,}88} = 5$ кг.

Ответ: 5 кг.

← 15. Графики функций. Преобразования