Квадратный корень. Модуль. Сравнение корней

Что такое квадратный корень

$\sqrt{a}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. В определении два требования, и оба обязательны:

1. $\sqrt{a} \ge 0$;
2. $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Одного второго требования мало. Квадрат числа $2$ равен $4$, но и квадрат числа $-2$ тоже равен $4$. Чтобы запись $\sqrt{4}$ означала ровно одно число, из двух кандидатов условились брать неотрицательный: $\sqrt{4} = 2$.

Отсюда главное следствие: значение корня никогда не бывает отрицательным. Запись $\sqrt{9} = -3$ неверна, хотя $(-3)^2 = 9$.

Подкоренное число тоже не любое. Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому равенства $x^2 = -4$ не бывает. Значит, $\sqrt{a}$ существует только при $a \ge 0$.

Корень n-й степени

$\sqrt[n]{a}$ — число, $n$-я степень которого равна $a$. Всё поведение задаёт чётность $n$.

Чётная степень ($\sqrt{\phantom{a}}$, $\sqrt[4]{\phantom{a}}$, $\sqrt[6]{\phantom{a}}$). Чётная степень любого числа неотрицательна, поэтому корень существует только при $a \ge 0$ и сам неотрицателен: $\sqrt[4]{16} = 2$, но не $-2$, хотя $(-2)^4 = 16$.

Нечётная степень ($\sqrt[3]{\phantom{a}}$, $\sqrt[5]{\phantom{a}}$). Нечётная степень сохраняет знак, поэтому корень существует при любом $a$, а его знак совпадает со знаком $a$: $\sqrt[3]{-8} = -2$, потому что $(-2)^3 = -8$.

Это та же ловушка, что и с квадратным корнем, только в общем виде: при чётном показателе появляется модуль.

Свойства корней

Записаны для $a \ge 0$ и $b \ge 0$ — там, где корни чётной степени определены.

Корень дружит с умножением и делением:

Корень и степень меняются местами:

Для корня любой степени всё то же самое:

Последнее равенство — мост к степеням: корень это степень с дробным показателем. Поэтому все правила действий со степенями работают и для корней, отдельно их заучивать не нужно.

Вынесение и внесение множителя

Вынести множитель — значит выделить под корнем полный квадрат:

Например: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$, $\ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Внести множитель — обратное действие, и здесь важен его знак:

Например: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, но $-3\sqrt{2} = -\sqrt{18}$ — не $\sqrt{-18}$ и не $\sqrt{18}$. Минус остаётся снаружи, под корень уходит только квадрат числа.

Как убрать корень из знаменателя

Домножаем числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы внизу корень исчез.

Один корень в знаменателе — домножаем на этот же корень:

Сумма или разность — домножаем на сопряжённое, то есть на то же выражение с противоположным знаком. Тогда сработает разность квадратов и корни уйдут:

Модуль — это расстояние

$|a|$ — расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому $|a| \ge 0$ при любом $a$.

Вторая строка не означает «отрицательное число». Если $a = -5$, то $-a = -(-5) = 5$: минус здесь как раз убирает знак.

$|a-b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$. Отсюда сразу видно, что $|a-b| = |b-a|$: расстояние не зависит от того, откуда его мерить.

Свойства модуля:

Как раскрывают модуль

Раскрыть модуль — значит убрать его знак, выяснив, положительно подмодульное выражение или отрицательно.

1. Найти, при каком $x$ подмодульное выражение обращается в нуль.
2. Определить его знак на нужном промежутке.
3. Если выражение неотрицательно — снять модуль как есть. Если отрицательно — снять модуль и поменять знак всего выражения.

Сравнение корней

Корень — возрастающая функция: чем больше подкоренное число, тем больше корень. Если $0 \le a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Поэтому два корня сравнивают прямо по подкоренным числам.

Если под корнями стоят разные выражения, обе части возводят в квадрат. Это законно, потому что обе части неотрицательны.

Сравнение с целым числом: внесите целое под корень. Например, $3 = \sqrt{9}$, а $10 > 9$, поэтому $\sqrt{10} > 3$.

Ориентиры для быстрой прикидки: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$; $\sqrt{3} \approx 1{,}73$; $\sqrt{5} \approx 2{,}24$; $\sqrt{10} \approx 3{,}16$.