← Маршрут ЕГЭ
Тема 4 из 72 · Алгебра

Формулы сокращённого умножения. Степень

ФСУ, свойства степеней с любым показателем

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 9 разделов
  1. Формулы сокращённого умножения и степень
  2. 1. Квадрат суммы и разности
  3. 2. Разность квадратов
  4. 3. Куб суммы и разности
  5. 4. Сумма и разность кубов — мнемоника «Такой же, Обратный, Плюс»
  6. 5. Степень: основание, показатель и знак
  7. 6. Свойства степеней
  8. 7. Дробный показатель — это корень
  9. 8. Приведение к одному основанию

Формулы сокращённого умножения и степень

ФСУ позволяют раскрывать скобки и раскладывать на множители без громоздких вычислений — они используются повсюду: в иррациональных и показательных уравнениях, в неравенствах, в задании №8 на упрощение выражений. Степень с любым показателем — база для дробного показателя и для приведения к одному основанию.

1. Квадрат суммы и разности

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Коэффициенты $1, 2, 1$ — это вторая строка треугольника Паскаля, та же, что даёт бином Ньютона для степени 2. Запоминать формулу проще так: «квадрат первого, плюс (или минус) удвоенное произведение, плюс квадрат второго» — средний член всегда в два раза больше произведения слагаемых.

Частая ошибка

$(a+b)^2 \ne a^2+b^2$. Забытое «$2ab$» — классическая ошибка ЕГЭ! Всегда пишите полный квадрат с двойным произведением.

Пример: как это ускоряет счёт

Вычислите $53^2$ без столбика.

  1. Представим $53 = 50 + 3$ и применим формулу: $53^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 3 + 3^2$.
  2. $2500 + 300 + 9 = 2809$.

Ответ: 2809

2. Разность квадратов

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

Читать формулу можно в обе стороны: раскладывать скобку в разность квадратов и, наоборот, сворачивать разность квадратов в произведение. Чтобы разложить выражение, нужно узнать в нём вид $a^2-b^2$ и применить формулу в обратную сторону.

Пример: разложение на множители

Разложите $9x^2 - 4$ на множители.

  1. $9x^2 = (3x)^2$, а $4 = 2^2$ — перед нами разность квадратов с $a = 3x$, $b = 2$.
  2. $9x^2 - 4 = (3x-2)(3x+2)$.

Ответ: $(3x-2)(3x+2)$

Пример: тот же приём для мысленного счёта

Вычислите $53 \cdot 47$ без столбика.

  1. $53 = 50+3$, $47 = 50-3$ — произведение $(50+3)(50-3)$ это разность квадратов.
  2. $50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

Ответ: 2491

3. Куб суммы и разности

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Коэффициенты $1, 3, 3, 1$ — снова строка треугольника Паскаля, теперь для степени 3. Их не нужно заучивать отдельно: они всегда идут в этом порядке и совпадают для суммы и разности — меняются только знаки, чередуясь через один: $+,-,+,-$ для разности.

Пример: та же идея для куба

Вычислите $21^3$ без прямого умножения.

  1. $21 = 20 + 1$: $21^3 = 20^3 + 3 \cdot 20^2 \cdot 1 + 3 \cdot 20 \cdot 1^2 + 1^3$.
  2. $8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261$.

Ответ: 9261

4. Сумма и разность кубов — мнемоника «Такой же, Обратный, Плюс»

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Формулу легко перепутать со знаками — вот приём, который убирает путаницу. Смотрим на неполный квадрат $a^2 \mp ab + b^2$ и расставляем три знака по порядку:

  1. Такой же — знак в скобке $(a\pm b)$ совпадает со знаком в исходном выражении $a^3\pm b^3$.
  2. Обратный — знак перед средним слагаемым $ab$ противоположен знаку в скобке.
  3. Плюс — знак перед последним слагаемым $b^2$ всегда плюс, независимо ни от чего.

Короче: «скобка · неполный квадрат», где неполный квадрат — это $a^2$, минус или плюс $ab$, плюс $b^2$.

Пример

Разложите $x^3 + 8$ на множители.

  1. $8 = 2^3$, значит это сумма кубов с $a = x$, $b = 2$.
  2. Знак в скобке такой же, как в условии (плюс), в среднем члене — обратный (минус), перед $b^2$ — плюс: $x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$.

Ответ: $(x+2)(x^2-2x+4)$

Пример

Разложите $27x^3 - 1$ на множители.

  1. $27x^3 = (3x)^3$, $1 = 1^3$ — разность кубов с $a = 3x$, $b = 1$.
  2. Знак в скобке — минус (как в условии), в среднем члене — обратный, плюс, перед $b^2$ — плюс: $27x^3-1 = (3x-1)(9x^2+3x+1)$.

Ответ: $(3x-1)(9x^2+3x+1)$

5. Степень: основание, показатель и знак

Запись $a^n$ — это умножение основания $a$ на себя $n$ раз. Отрицательное основание в чётной степени даёт плюс, в нечётной — минус.

Важно

$(-2)^4 = 16$, но $-2^4 = -16$: в первом случае в степень возводится скобка целиком, во втором минус стоит перед степенью и к возведению не относится. На экзамене на этом теряют баллы чаще, чем на самих свойствах.

6. Свойства степеней

Основные свойства для $a, b > 0$ и любых показателей $m, n$:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad a^m : a^n = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$
Важно

Свойства работают при $a > 0$. Для отрицательных оснований и нецелых показателей степень может быть неопределена. На ЕГЭ основания под дробными показателями всегда положительны.

7. Дробный показатель — это корень

Дробный показатель переводится в корень: знаменатель дроби становится степенью корня, числитель — степенью подкоренного выражения.

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Считать удобнее через вторую форму: сначала извлечь корень, потом возвести в степень — числа остаются маленькими.

Пример

Вычислите $27^{\frac{2}{3}}$.

  1. Сначала корень: $\sqrt[3]{27} = 3$.
  2. Потом степень: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

Пример

Вычислите $16^{0{,}75}$.

  1. $0{,}75 = \frac{3}{4}$, значит $16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3$.
  2. $\sqrt[4]{16} = 2$, затем $2^3 = 8$.

Ответ: 8

Пример

Вычислите $0{,}001^{-\frac{1}{3}}$.

  1. Минус в показателе переворачивает дробь: $0{,}001^{-1/3} = \left(\frac{1}{0{,}001}\right)^{1/3} = 1000^{1/3}$.
  2. $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Ответ: 10

Важно

Свойства степеней с дробным показателем работают при $a > 0$. Поэтому $\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$: знак определяется условием задачи.

8. Приведение к одному основанию

Разные основания приводятся к общему: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $64 = 2^6$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $25 = 5^2$. После этого работают обычные правила, и громоздкие показатели сокращаются.

Пример

Вычислите $\left(27^7\right)^2 : \left(9^4\right)^5$.

  1. $27 = 3^3$, поэтому $\left(27^7\right)^2 = 3^{3 \cdot 14} = 3^{42}$.
  2. $9 = 3^2$, поэтому $\left(9^4\right)^5 = 3^{2 \cdot 20} = 3^{40}$.
  3. $3^{42} : 3^{40} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

Пример

Вычислите $8^{\frac{2}{3}} \cdot 4^{-\frac{1}{2}}$.

  1. $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 4$.
  2. $4^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$.
  3. $4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$.

Ответ: 2

Пример

Иррациональный показатель не мешает: вычислите $5^{\sqrt{7}+1} : 5^{\sqrt{7}-1}$.

  1. При делении показатели вычитаются: $\left(\sqrt{7}+1\right) - \left(\sqrt{7}-1\right) = 2$.
  2. $5^2 = 25$.

Ответ: 25

Пример из демоверсии

Вычислите $25^{2\sqrt{8}+3} \cdot 5^{-3-4\sqrt{8}}$.

  1. Приводим к основанию 5: $25^{2\sqrt{8}+3} = 5^{2\left(2\sqrt{8}+3\right)} = 5^{4\sqrt{8}+6}$.
  2. Складываем показатели: $\left(4\sqrt{8}+6\right) + \left(-3-4\sqrt{8}\right) = 3$.
  3. $5^3 = 125$.

Ответ: 125

← 3. Проценты