Проценты
Процент от числа, изменение на проценты, простые и сложные проценты — база для заданий №8, №11 и №13
Содержание 10 разделов
Проценты
Проценты — сквозная тема всего экзамена: на них стоят задание №8 первой части (чистое вычисление), задание №11 (текстовые задачи на смеси и сплавы) и целиком задание №13 — финансовая математика: вклады, кредиты, оптимизация.
1. Что такое процент
Процент — это одна сотая часть числа: $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$. Перевести проценты в десятичную дробь — значит разделить на 100 (сдвинуть запятую на два знака влево), а обратно — умножить на 100.
Запишите 45% в виде десятичной дроби, а 0,08 — в процентах.
- $45\% = 45 : 100 = 0{,}45$.
- $0{,}08 = 0{,}08 \cdot 100\% = 8\%$.
Ответ: 0,45 и 8%
2. Процент от числа — умножаем
Чтобы найти $p\%$ от числа $a$, нужно перевести проценты в дробь и умножить: $a \cdot \dfrac{p}{100}$. Слово «от» в условии почти всегда означает умножение.
Найдите 35% от числа 240.
- $35\% = 0{,}35$.
- $240 \cdot 0{,}35 = 84$.
Ответ: 84
3. Число по его проценту — делим
Если известно, что $p\%$ числа равны $b$, само число находят делением: $b : \dfrac{p}{100}$. Признак такой задачи — искомое число в условии неизвестно, а дана только его часть.
Число 45 составляет 15% некоторого числа. Найдите это число.
- $15\% = 0{,}15$.
- $45 : 0{,}15 = 300$.
- Проверка: $300 \cdot 0{,}15 = 45$ — сходится.
Ответ: 300
4. Сколько процентов одно число от другого
Чтобы узнать, сколько процентов число $b$ составляет от числа $a$, делят $b$ на $a$ и умножают на 100%: $\dfrac{b}{a} \cdot 100\%$. Делят всегда на то, с чем сравнивают, — на число после слова «от».
Сколько процентов число 18 составляет от числа 72?
- $\dfrac{18}{72} = 0{,}25$.
- $0{,}25 = 25\%$.
Ответ: 25%
5. Изменение на проценты — множитель
Это главный приём всей темы. Увеличить на $p\%$ — умножить на $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$, уменьшить на $p\%$ — умножить на $\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$. Например, +15% — это умножение на 1,15, а −20% — на 0,8.
Цену 4000 рублей повысили на 15%. Найдите новую цену.
- $4000 \cdot 1{,}15 = 4600$ — одно действие вместо двух.
Ответ: 4600 рублей
Если цена изменилась с $a$ на $b$, изменение в процентах равно $\dfrac{b-a}{a}\cdot 100\%$ — делят на исходное значение, а не на новое.
6. Два изменения подряд
Когда изменений несколько, множители перемножаются. Складывать проценты нельзя: $+10\%$, а потом $-10\%$ дают $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$, то есть цена стала меньше исходной на 1%, а не вернулась к ней. Это самая частая ошибка в теме.
Цену 2000 рублей сначала повысили на 10%, затем снизили на 10%. Сколько стоит товар теперь?
- $2000 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 2000 \cdot 0{,}99 = 1980$.
Ответ: 1980 рублей
7. Сложные проценты
Если проценты каждый раз начисляются на всю накопленную сумму, множитель применяется столько раз, сколько было начислений:
При простых процентах начисление идёт только на исходную сумму: $S = P \cdot \left(1 + \dfrac{n \cdot p}{100}\right)$. Вся финансовая математика ЕГЭ выросла из одной формулы сложных процентов.
Вклад 100 000 рублей под 10% годовых, сложные проценты, 3 года. Сколько будет на счёте?
- $100000 \cdot 1{,}1^{3} = 100000 \cdot 1{,}331 = 133100$.
Ответ: 133 100 рублей
Цена товара 2500 рублей. Её увеличили на 20%, потом снизили на 15%. Какова итоговая цена?
- После увеличения на 20%: $2500 \cdot 1{,}2 = 3000$.
- После снижения на 15%: $3000 \cdot 0{,}85 = 2550$.
Ответ: 2550 рублей
8. Смеси и сплавы — задание №11
Схема та же, что и в простых задачах на концентрацию: считаем массу чистого вещества до и после. Если неизвестных две, заводим две переменные и записываем два условия: по общей массе и по массе вещества.
Первый сплав содержит 45% меди, второй — 20%. Масса первого на 30 кг больше массы второго. Их сплавили и получили сплав с 40% меди. Найдите массу третьего сплава.
- Пусть второго сплава $x$ кг, тогда первого — $x + 30$ кг.
- Меди: $0{,}45(x+30) + 0{,}2x = 0{,}4(2x+30)$.
- $0{,}65x + 13{,}5 = 0{,}8x + 12$, откуда $x = 10$.
- Масса третьего сплава: $(x+30) + x = 40 + 10 = 50$.
Ответ: 50 кг
Имеются два сплава с содержанием меди 10% и 35%. Сколько килограммов каждого нужно взять, чтобы получить 150 кг сплава с содержанием меди 25%?
- Пусть первого сплава $x$ кг, тогда второго $150-x$ кг.
- Меди: $0{,}1x + 0{,}35(150-x) = 0{,}25 \cdot 150$.
- $0{,}1x + 52{,}5 - 0{,}35x = 37{,}5$, отсюда $0{,}25x = 15$ и $x = 60$.
- Второго сплава: $150 - 60 = 90$.
Ответ: 60 кг и 90 кг
Среднее арифметическое концентраций годится только при равных массах. При разных массах всегда составляйте уравнение по массе вещества.
9. Куда это ведёт: задание №13
Проценты в первой части (задание №8) — это разминка. Настоящая проверка темы — задание №13, финансовая математика: кредиты, вклады, оптимизация. Там нет новых идей, только тот же множитель $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$, применённый много раз подряд.
В кредитах к этому добавляется ежегодный платёж: долг сначала умножается на множитель, затем из него вычитается платёж. Именно из этой пары действий собираются все схемы — и аннуитетная, и дифференцированная.
Вклад 100 000 рублей за два года вырос до 121 000 рублей по схеме сложных процентов. Какова годовая ставка?
- $100000 \cdot k^{2} = 121000$, где $k$ — годовой множитель.
- $k^{2} = 1{,}21$, значит $k = 1{,}1$.
- Множителю $1{,}1$ отвечает ставка 10%.
Ответ: 10%
Кредит 331 000 рублей взят под 10% годовых и гасится тремя равными ежегодными платежами. Найдите размер платежа.
- Обозначим платёж $X$, множитель $k = 1{,}1$.
- Долг после трёх лет: $331000 \cdot k^{3} - X\left(k^{2} + k + 1\right) = 0$.
- $331000 \cdot 1{,}331 = 440561$, а $k^{2}+k+1 = 3{,}31$.
- $X = 440561 : 3{,}31 = 133100$.
Ответ: 133 100 рублей
Схема почти всегда одна: выписать множитель за период, применить его нужное число раз, между применениями учесть платёж или пополнение. Дальше — обычное уравнение.
Подпишись — и вся теория откроется
72 темы ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.