Графический метод пучки прямых, касание, траектории
Пучок прямых через точку, условие касания окружности, следящая точка
Содержание 10 разделов
- 1. Пучок прямых: что это такое?
- 2. Пучок двух прямых
- 3. Огибающая семейства кривых
- 4. Метод траектории (геометрическое место точек)
- 5. Связь между пучком, огибающей и ГМТ
- 6. Пример 1: Пучок прямых в задаче с параметром
- 7. Пример 2: Огибающая семейства парабол
- 8. Пример 3: Траектория точки
- 9. Пример 4: Комбинация пучка и огибающей (ЕГЭ-подобный)
- 10. Типичные ошибки
1. Пучок прямых: что это такое?
Пучок прямых — это семейство всех прямых, которые проходят через одну фиксированную точку. Эта точка называется центром пучка.
Уравнение пучка:
где $(x_0; y_0)$ — центр пучка, $k$ — параметр (угловой коэффициент).
Важно: при $k \to \infty$ получается вертикальная прямая $x = x_0$, которая не входит в это уравнение, но тоже принадлежит пучку.
Уравнение $y = k(x-2)+1$ задаёт пучок прямых, проходящих через точку $(2;1)$. При $k=0$: $y=1$; при $k=1$: $y=x-1$; при $k=-1$: $y=-x+3$.
2. Пучок двух прямых
Если даны две пересекающиеся прямые:
Тогда все прямые, проходящие через точку их пересечения, можно записать в виде:
где $\lambda \in \mathbb{R}$ — параметр.
Почему это работает? При любом $\lambda$ уравнение остаётся линейным (прямая), а точка пересечения $l_1$ и $l_2$ обращает оба слагаемых в ноль, значит, принадлежит любой прямой из этого семейства.
Для прямых $x+y-3=0$ и $x-y+1=0$ (пересекаются в точке $(1;2)$) пучок имеет вид: $(x+y-3)+\lambda(x-y+1)=0$. При $\lambda=1$: $2x-2=0$ → $x=1$; при $\lambda=-1$: $2y-4=0$ → $y=2$.
3. Огибающая семейства кривых
Огибающая — это кривая, которая в каждой своей точке касается одной из кривых семейства.
Как найти огибающую: для семейства $F(x,y,a)=0$ (где $a$ — параметр) решаем систему:
Исключаем параметр $a$ из системы — получаем уравнение огибающей.
Найдите огибающую семейства прямых $y = kx + \dfrac{1}{k}$.
- $F(x,y,k) = y - kx - \dfrac{1}{k} = 0$.
- $\dfrac{\partial F}{\partial k} = -x + \dfrac{1}{k^2} = 0$ → $k = \pm \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
- Подставляем в $F$: $y = kx + \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot x + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}$.
- Возводим в квадрат: $y^2 = 4x$ — это парабола.
Ответ: $y^2 = 4x$.
4. Метод траектории (геометрическое место точек)
Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, которые удовлетворяют некоторому условию.
Алгоритм поиска ГМТ:
- Записать условие, которому должна удовлетворять точка $(x,y)$.
- Если в условии есть параметр $a$ — исключить его.
- Получить уравнение, связывающее $x$ и $y$.
Точка движется по закону $x = \cos t$, $y = \sin t$. Найдите траекторию.
- Исключаем параметр $t$: $x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$.
- Траектория — окружность $x^2 + y^2 = 1$.
5. Связь между пучком, огибающей и ГМТ
| Понятие | Суть | Пример |
| Пучок прямых | Все прямые через одну точку | $y = k(x-2)+1$ |
| Огибающая | Кривая, касающаяся всех кривых семейства | $y^2 = 4x$ для $y = kx + \frac{1}{k}$ |
| ГМТ (траектория) | Множество всех точек, удовлетворяющих условию | $x^2 + y^2 = 1$ для $(\cos t; \sin t)$ |
6. Пример 1: Пучок прямых в задаче с параметром
Найдите все $a$, при которых прямая $y = ax + 2a$ пересекает параболу $y = x^2 - 4x + 3$ ровно в одной точке.
Решение.
- Заметим, что $y = ax + 2a = a(x+2)$ → все прямые проходят через точку $(-2;0)$ (пучок).
- Приравниваем: $x^2 - 4x + 3 = ax + 2a$ → $x^2 - (a+4)x + (3-2a) = 0$.
- Ровно одна точка пересечения → дискриминант равен нулю:
- $D = (a+4)^2 - 4(3-2a) = a^2 + 8a + 16 - 12 + 8a = a^2 + 16a + 4$.
- $D = 0$ → $a^2 + 16a + 4 = 0$ → $a = -8 \pm 2\sqrt{15}$.
Ответ: $a = -8 \pm 2\sqrt{15}$.
7. Пример 2: Огибающая семейства парабол
Найдите огибающую семейства парабол $y = ax^2 + \dfrac{1}{4a}$ ($a \ne 0$).
Решение.
- $F(x,y,a) = y - ax^2 - \dfrac{1}{4a} = 0$.
- $\dfrac{\partial F}{\partial a} = -x^2 + \dfrac{1}{4a^2} = 0$ → $4a^2x^2 = 1$ → $a = \pm \dfrac{1}{2|x|}$ — есть две ветви, обе нужно подставить.
- Подставляем $a = \dfrac{1}{2|x|}$: $y = \dfrac{1}{2|x|} \cdot x^2 + \dfrac{1}{4 \cdot \frac{1}{2|x|}} = \dfrac{|x|}{2} + \dfrac{|x|}{2} = |x|$.
- Подставляем $a = -\dfrac{1}{2|x|}$: $y = -\dfrac{1}{2|x|} \cdot x^2 - \dfrac{1}{4 \cdot \frac{1}{2|x|}} = -\dfrac{|x|}{2} - \dfrac{|x|}{2} = -|x|$.
- Огибающая состоит из обеих ветвей: $y = |x|$ и $y = -|x|$, то есть $y = \pm|x|$ (равносильно $y^2=x^2$).
Ответ: $y = \pm|x|$.
8. Пример 3: Траектория точки
Точка движется по закону $x = 2t + 1$, $y = t^2 - 3$. Найдите траекторию.
Решение.
- Выражаем $t$ из $x$: $t = \dfrac{x-1}{2}$.
- Подставляем в $y$: $y = \left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2 - 3 = \dfrac{(x-1)^2}{4} - 3$.
- Это парабола с вершиной в точке $(1;-3)$.
Ответ: $y = \dfrac{(x-1)^2}{4} - 3$.
9. Пример 4: Комбинация пучка и огибающей (ЕГЭ-подобный)
Найдите все $a$, при которых система $\begin{cases} y = x^2 \\ y = ax + a \end{cases}$ имеет ровно одно решение.
Решение.
- Вторая прямая: $y = a(x+1)$ — пучок через точку $(-1;0)$.
- Приравниваем: $x^2 = a(x+1)$ → $x^2 - ax - a = 0$.
- Ровно одно решение → дискриминант равен нулю.
- $D = a^2 + 4a = a(a+4) = 0$ → $a = 0$ или $a = -4$.
- При $a = 0$: $y = 0$ — прямая совпадает с осью $Ox$, пересекает параболу в одной точке $(0;0)$.
- При $a = -4$: $y = -4x - 4$ — касательная к параболе.
Ответ: $a \in \{-4; 0\}$.
10. Типичные ошибки
| Ошибка | Как правильно |
| Забыть про вертикальную прямую в пучке | При $k \to \infty$ получается $x = x_0$ — проверяйте отдельно |
| Не проверить $a=0$ в огибающей | Если в знаменателе есть $a$ — случай $a=0$ отдельно |
| Путать огибающую и ГМТ | Огибающая — касается всех кривых; ГМТ — множество точек, удовлетворяющих условию |
| Неправильно исключать параметр | Для исключения параметра решаем систему $F=0$, $F'_a=0$ |
Подпишись — и вся теория откроется
72 темы ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.