Графический метод прямая, окружность, парабола

При каких $a$ уравнение $x^2 = a$ имеет ровно 2 решения?

Решение.

1. Выражаем $a$: $a = x^2$.
2. Строим график $y = x^2$ — парабола с вершиной в $(0;0)$.
3. Проводим горизонтальные прямые $y = a$.
4. При $a < 0$: пересечений нет.
5. При $a = 0$: одно пересечение ($x = 0$).
6. При $a > 0$: два пересечения ($x = \pm\sqrt{a}$).

Ответ: $a > 0$.

При каких $a$ уравнение $x^3 - 3x^2 = a$ имеет ровно 2 решения?

Решение.

1. $h(x) = x^3 - 3x^2$.
2. Находим экстремумы: $h'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$.
3. Критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.
4. $h(0) = 0$ — локальный максимум? Проверяем знаки: $h'(x) > 0$ при $x < 0$ и $x > 2$; $h'(x) < 0$ при $0 < x < 2$. Значит, $x=0$ — максимум, $x=2$ — минимум.
5. $h(0) = 0$, $h(2) = 8 - 12 = -4$.
6. Поведение на $\pm\infty$: при $x \to +\infty$, $h(x) \to +\infty$; при $x \to -\infty$, $h(x) \to -\infty$.
7. График: идёт из $-\infty$, поднимается до $0$ (макс), опускается до $-4$ (мин), затем уходит в $+\infty$.
8. Ровно 2 пересечения с горизонталью $y = a$ возможно при $a = 0$ (максимум) или $a = -4$ (минимум).

Ответ: $a \in \{-4; 0\}$.

При каких $a$ уравнение $|x^2 - 4| = a$ имеет ровно 4 корня?

Решение.

1. $h(x) = |x^2 - 4|$.
2. Строим график: сначала парабола $y = x^2 - 4$ (ветви вверх, корни $\pm 2$, вершина $(0;-4)$). Затем часть ниже оси $Ox$ отражаем вверх.
3. Получаем «двугорбую» кривую: нули при $x = \pm 2$, локальный максимум при $x = 0$: $h(0) = 4$.
4. Прямая $y = a$ пересекает график:
   • $a = 0$: 2 точки ($x = \pm 2$).
   • $0 < a < 4$: 4 точки (по две на каждой ветви).
   • $a = 4$: 3 точки ($x = 0$ и ещё две).
   • $a > 4$: 2 точки.

Ответ: $a \in (0; 4)$.

При каких $a$ уравнение $\sin x = a$ имеет ровно 4 корня на отрезке $[0; 3\pi]$?

Решение.

1. Строим график $y = \sin x$ на $[0; 3\pi]$.
2. Это три полных полуволны: от $0$ до $\pi$, от $\pi$ до $2\pi$, от $2\pi$ до $3\pi$.
3. Проводим горизонталь $y = a$.
4. На $[\pi; 2\pi]$ синус неположителен ($\sin x \le 0$), поэтому уравнение $\sin x = a$ там имеет решения только при $a \le 0$; на $[0;\pi]$ и $[2\pi;3\pi]$ синус неотрицателен, решения есть только при $a \ge 0$.
5. При $a = 0$: корни $x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi$ — 4 корня.
6. При $0 < a < 1$: на $[0; \pi]$ — 2 корня, на $[\pi; 2\pi]$ — 0 корней (там $\sin x\le0
7. При $a = 1$: $x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}$ — 2 корня.
8. При $a > 1$: 0 корней.
9. При $-1 < a < 0$: на $[0;\pi]$ — 0 корней, на $[\pi;2\pi]$ — 2 корня, на $[2\pi;3\pi]$ — 0 корней → всего 2 корня.
10. При $a = -1$: только $x=\dfrac{3\pi}{2}$ — 1 корень. При $a<-1$: 0 корней.
11. Ровно 4 корня получаются при $a=0$ и при $0

Ответ: $a \in [0; 1)$.

При каких $a$ прямая $y = a + 1$ касается параболы $y = x^2 - 2x + 3$?

Решение.

1. Приравниваем: $x^2 - 2x + 3 = a + 1$ → $x^2 - 2x + 2 - a = 0$.
2. Условие касания: дискриминант равен нулю.
3. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - a) = 4 - 8 + 4a = 4a - 4$.
4. $D = 0$ → $4a - 4 = 0$ → $a = 1$.
5. Проверка: при $a = 1$: $x^2 - 2x + 1 = 0$ → $(x-1)^2 = 0$ → $x = 1$ — касание.

Ответ: $a = 1$.

Найдите все $a$, при которых уравнение $|x^2 - 2x| = a$ имеет ровно 2 корня.

Решение.

1. $h(x) = |x^2 - 2x|$.
2. Сначала $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ — парабола с вершиной $(1;-1)$, корни $x = 0$ и $x = 2$.
3. Отражаем часть ниже оси $Ox$ вверх.
4. Нули: $x = 0$, $x = 2$.
5. Локальный максимум при $x = 1$: $h(1) = |1 - 2| = 1$.
6. Прямая $y = a$:
   • $a = 0$: 2 корня ($x = 0$ и $x = 2$).
   • $0 < a < 1$: 4 корня.
   • $a = 1$: 3 корня ($x = 1$ и ещё два).
   • $a > 1$: 2 корня (по одному слева и справа).
7. Ровно 2 корня при $a = 0$ и $a > 1$.

Ответ: $a \in \{0\} \cup (1; +\infty)$.