← Маршрут ЕГЭ
Тема 51 из 72 · Параметры

Замены и подстановки. Симметрия

Замена переменной, симметрические уравнения и неравенства с параметром

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 10 разделов
  1. 1. Замена переменной: когда и зачем
  2. 2. Типичные замены в задачах с параметром
  3. 3. Пошаговый алгоритм решения через замену
  4. 4. Пример 1: Замена с тригонометрией
  5. 5. Пример 2: Замена в тригонометрическом уравнении
  6. 6. Пример 3: Замена в показательном уравнении
  7. 7. Пример 4: Симметричное уравнение
  8. 8. Параметр как свободный член / коэффициент
  9. 9. Пример 5: Параметр как свободный член
  10. 10. Пример 6: Параметр как коэффициент

1. Замена переменной: когда и зачем

Замена переменной — это один из самых мощных приёмов в задачах с параметром. Суть: вместо сложного выражения, в котором $x$ встречается несколько раз, вводим новую переменную $t$, которая «упрощает» уравнение.

Когда применяется:

  • Уравнение содержит повторяющиеся выражения (например, $x^2$ и $x^4$, $\sin x$ и $\sin^2 x$, $2^x$ и $4^x$).
  • После замены уравнение становится алгебраическим (линейным, квадратным, рациональным).
  • Параметр $a$ при этом может оставаться в уравнении, но теперь его проще анализировать.
Важно

Главное правило замены: не забыть ОДЗ для новой переменной! Например, если $t = \sin x$, то $t \in [-1;1]$. Если $t = 2^x$, то $t > 0$. Если $t = \sqrt{x}$, то $t \ge 0$.

2. Типичные замены в задачах с параметром

Исходное выражение Замена ОДЗ для $t$ Что получаем
$\sin x$, $\sin^2 x$, $\sin^3 x$ $t = \sin x$ $t \in [-1;1]$ Квадратное уравнение от $t$
$2^x$, $4^x$, $2^{2x}$ $t = 2^x$ $t > 0$ Квадратное уравнение от $t$
$x + \dfrac{1}{x}$, $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ $t = x + \dfrac{1}{x}$ $|t| \ge 2$ Упрощение симметричных уравнений
$\sqrt{x}$, $x$ $t = \sqrt{x}$ $t \ge 0$ Квадратное уравнение от $t$
$\log_a x$ $t = \log_a x$ $x > 0$, $t$ любое Уравнение от $t$

3. Пошаговый алгоритм решения через замену

  1. Выбрать замену. Найти в уравнении повторяющееся выражение и обозначить его новой переменной $t$.
  2. Записать ОДЗ для $t$. Обязательно! Это отсечёт лишние корни.
  3. Переписать уравнение в новой переменной. Получится уравнение относительно $t$, в котором может присутствовать параметр $a$.
  4. Решить уравнение относительно $t$. Найти все возможные значения $t$ (в зависимости от $a$).
  5. Сделать обратную замену. Для каждого найденного $t$ решить уравнение $t = \text{выражение}(x)$.
  6. Учесть ОДЗ исходного уравнения. Проверить, что найденные $x$ удовлетворяют исходному ОДЗ.
  7. Проанализировать параметр. Если задача с параметром — найти те $a$, при которых выполнено условие (ровно $k$ корней, корни на отрезке и т.д.).

4. Пример 1: Замена с тригонометрией

Пример 1

Решите уравнение $\sin 2x + \sin x - 2 = 0$.

Решение.

  1. $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, но здесь удобнее сделать замену $t = \sin x$.
  2. Перепишем: $\sin 2x + \sin x - 2 = 2\sin x \cos x + \sin x - 2$ — не очень удобно.
  3. Лучше заметить, что $\sin 2x$ можно представить через $t = \sin x$? Нет, там ещё и $\cos x$.
  4. Правильный подход: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, но замена $t = \sin x$ не избавит от $\cos x$.
  5. На самом деле это уравнение решается иначе: $\sin 2x \le 1$, $\sin x \le 1$, значит $\sin 2x + \sin x \le 2$. Равенство достигается только при $\sin 2x = 1$ и $\sin x = 1$ одновременно. $\sin x = 1$ даёт $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$. Подставляем: $\sin(2 \cdot \dfrac{\pi}{2} + 4\pi k) = \sin(\pi + 4\pi k) = 0 \ne 1$. Значит, решений нет.

Этот пример показывает, что не всегда замена — лучший способ. Но для демонстрации метода рассмотрим другой пример.

5. Пример 2: Замена в тригонометрическом уравнении

Пример 2 (с параметром)

Найдите все $a$, при которых уравнение $2\sin^2 x - \sin x + a = 0$ имеет хотя бы одно решение.

Решение.

  1. Замена $t = \sin x$, $t \in [-1;1]$.
  2. Получаем: $2t^2 - t + a = 0$.
  3. Уравнение имеет решение при $t \in [-1;1]$ тогда и только тогда, когда $a = -2t^2 + t$ для некоторого $t \in [-1;1]$.
  4. Найдём область значений функции $h(t) = -2t^2 + t$ на $[-1;1]$.
  5. Вершина: $t_0 = \dfrac{-1}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{1}{4}$, $h(t_0) = -2 \cdot \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{8}$.
  6. На концах: $h(-1) = -2 \cdot 1 - 1 = -3$; $h(1) = -2 \cdot 1 + 1 = -1$.
  7. Область значений: $h(t) \in \left[-3; \dfrac{1}{8}\right]$.
  8. Уравнение имеет решение, когда $a \in \left[-3; \dfrac{1}{8}\right]$.

Ответ: $a \in \left[-3; \dfrac{1}{8}\right]$.

6. Пример 3: Замена в показательном уравнении

Пример 3

Решите уравнение $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$.

Решение.

  1. $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$.
  2. Замена $t = 2^x$, $t > 0$.
  3. Получаем: $t^2 - 3t + 2 = 0$ → $(t-1)(t-2) = 0$.
  4. $t = 1$ или $t = 2$ (оба $>0$, подходят).
  5. Обратная замена: $2^x = 1$ → $x = 0$; $2^x = 2$ → $x = 1$.

Ответ: $x = 0$, $x = 1$.

7. Пример 4: Симметричное уравнение

Пример 4

Решите уравнение $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$.

Решение.

  1. Это симметричное уравнение степени 4 (коэффициенты: $1, 3, 4, 3, 1$).
  2. Делим на $x^2$ (заметим, что $x \ne 0$): $x^2 + 3x + 4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$.
  3. Группируем: $\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 4 = 0$.
  4. Замена $t = x + \dfrac{1}{x}$, тогда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
  5. Получаем: $t^2 - 2 + 3t + 4 = 0$ → $t^2 + 3t + 2 = 0$.
  6. $t = -1$ или $t = -2$. Оба значения $|t| \ge 2$? $|-2| = 2 \ge 2$ — подходит; $|-1| = 1 < 2$ — не подходит (не даёт решений).
  7. Обратная замена для $t = -2$: $x + \dfrac{1}{x} = -2$ → $x^2 + 2x + 1 = 0$ → $(x+1)^2 = 0$ → $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

8. Параметр как свободный член / коэффициент

В задачах с параметром часто встречаются два типа:

  • Тип 1: $a$ — свободный член: $f(x) + a = 0$ → $a = -f(x)$. Тогда задача сводится к анализу функции $f(x)$ и поиску её области значений.
  • Тип 2: $a$ — коэффициент: $a \cdot f(x) = g(x)$. При $a \neq 0$ выражаем $f(x) = \dfrac{g(x)}{a}$; при $a = 0$ — отдельный случай!
Важно

Случай $a=0$ всегда проверяется отдельно! Пример: $ax+1=0$. При $a=0$: $1=0$ — нет решений. При $a\neq 0$: $x=-\dfrac{1}{a}$.

9. Пример 5: Параметр как свободный член

Пример 5

Найдите все $a$, при которых уравнение $x^2 - 4x + a = 0$ имеет корни.

Решение.

  1. Выражаем $a$: $a = -x^2 + 4x$.
  2. Находим область значений функции $h(x) = -x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями вниз.
  3. Вершина: $x_0 = \dfrac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2$; $h(2) = -4 + 8 = 4$.
  4. При $x \to \pm\infty$, $h(x) \to -\infty$.
  5. Область значений: $h(x) \in (-\infty; 4]$.
  6. Уравнение имеет корни, когда $a \le 4$.

Ответ: $a \in (-\infty; 4]$.

10. Пример 6: Параметр как коэффициент

Пример 6

Найдите все $a$, при которых уравнение $ax^2 + 2x + 1 = 0$ имеет ровно одно решение.

Решение.

  1. Случай $a=0$: $2x+1=0$ → $x=-\dfrac{1}{2}$ — одно решение. Подходит!
  2. Случай $a \neq 0$: квадратное уравнение. Ровно одно решение при $D = 0$.
  3. $D = 4 - 4a = 0$ → $a = 1$.
  4. Проверка: при $a=1$: $x^2 + 2x + 1 = 0$ → $(x+1)^2 = 0$ → $x = -1$ — одно решение.

Ответ: $a = 0$ или $a = 1$.

← 50. Метод «хорошего-плохого» корня