Метод «хорошего-плохого» корня
Разложение на множители по параметру, отбор «хорошего» корня
1. Метод «хорошего» и «плохого» корня: что это такое?
Этот метод применяется в задачах, где уравнение имеет несколько корней (кандидатов), а нужно, чтобы ровно один из них удовлетворял дополнительному условию (например, лежал на отрезке, был положительным и т.д.).
Идея метода:
- Мы находим все возможные корни уравнения (это кандидаты).
- Для каждого корня проверяем, при каких значениях параметра он становится «хорошим» (удовлетворяет условию).
- «Плохой» корень — это тот, который не удовлетворяет условию.
- Нам нужно найти такие значения параметра, при которых хорошим является ровно один из корней.
Ключевая сложность: корни могут совпадать при некоторых значениях параметра. В этом случае «два разных корня» превращаются в «один корень», и это меняет ответ!
2. Алгоритм метода
- Найти все корни-кандидаты уравнения (решить его, считая $a$ параметром).
- Для каждого корня определить, при каких значениях $a$ он удовлетворяет дополнительному условию (становится «хорошим»).
- Рассмотреть все случаи: какой из корней (или какие) являются «хорошими».
- Найти пересечения промежутков для $a$, где ровно один корень «хороший».
- Проверить совпадения корней — если два корня совпадают, то на самом деле это один корень, и это может изменить ответ.
Корень₁ (хороший при $a \in A$)
Корень₂ (хороший при $a \in B$)
Корень₃ (хороший при $a \in C$)
Нам нужно: ровно один корень хороший → $a$ попадает ровно в один из промежутков $A, B, C$.
Проверяем совпадения корней → корректируем ответ.
3. Пример с подробным разбором (не из ЕГЭ)
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $(x-a)(x-2a)=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 5]$.
Решение.
- Находим корни: произведение равно нулю, значит:
- Определяем, когда каждый корень «хороший» (попадает в $[0;5]$):
Для $x_1 = a$: $0 \le a \le 5$ → $a \in [0; 5]$.
Для $x_2 = 2a$: $0 \le 2a \le 5$ → $a \in \left[0; \dfrac{5}{2}\right]$.
- Находим, когда ровно один корень хороший:
| Интервал для $a$ | $x_1$ хороший? | $x_2$ хороший? | Сколько хороших? |
| $a < 0$ | ❌ | ❌ | 0 |
| $0 \le a \le \dfrac{5}{2}$ | ✅ | ✅ | 2 |
| $\dfrac{5}{2} < a \le 5$ | ✅ | ❌ | 1 |
| $a > 5$ | ❌ | ❌ | 0 |
- Проверяем совпадение корней: $x_1 = x_2$ при $a = 2a$ → $a = 0$. При $a = 0$ уравнение принимает вид $x^2=0$ и имеет ровно один различный корень $x=0$, который лежит в $[0;5]$ — значит, $a=0$ тоже даёт «ровно один корень» и должно войти в ответ (в таблице шага 3 этот случай был по ошибке учтён как «2 хороших корня», хотя фактически различный корень один).
Ответ: $a \in \{0\} \cup \left(\dfrac{5}{2}; 5\right]$.
Найдите все значения $a$, при которых уравнение
$\ln(3x-1) \cdot \sqrt{x^2 - 8x + 8a - a^2} = 0$
имеет ровно один корень на отрезке $[0;4]$.
Решение. Разберём метод «хорошего-плохого» корня по шагам.
- Находим ОДЗ: $3x-1 > 0$ и $x^2 - 8x + 8a - a^2 \ge 0$.
- Произведение равно нулю, значит:
- Решаем первое уравнение: $x_1 = \dfrac{2}{3}$ — кандидат.
- Решаем второе: $x^2 - 8x + 8a - a^2 = 0$
Шаг 1. Проверяем $x_1 = \dfrac{2}{3}$. Он должен удовлетворять ОДЗ подкоренного выражения:
Шаг 2. Проверяем $x_2 = a$. Он должен удовлетворять ОДЗ логарифма:
Шаг 3. Проверяем $x_3 = 8-a$.
Шаг 4. Находим значения $a$, при которых ровно один корень.
Шаг 5. Проверяем совпадения корней.
- $x_1 = x_2$ при $a = \frac{2}{3}$ → включаем
- $x_1 = x_3$ при $a = \frac{22}{3}$ → включаем
- $x_2 = x_3$ при $a = 4$ → не включаем (два разных корня)
Ответ: $a \in \left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}\right] \cup \left[\dfrac{22}{3}; \dfrac{23}{3}\right)$
4. Типичные задачи, где применяется метод
| Тип задачи | Пример формулировки |
| Ровно один корень на отрезке | «Уравнение имеет ровно один корень на $[m;n]$» |
| Ровно два корня с заданным свойством | «Уравнение имеет ровно два положительных корня» |
| Все корни удовлетворяют условию | «Все корни уравнения принадлежат $[m;n]$» |
| Ни один корень не удовлетворяет условию | «Уравнение не имеет корней на $[m;n]$» |
5. Типичные ошибки и как их избежать
| Ошибка | Как правильно |
| Забыть про ОДЗ | Всегда выписываем ОДЗ первым шагом |
| Не проверить совпадение корней | При совпадении корней их количество уменьшается! |
| Не рассмотреть все случаи | Перебираем все варианты: какой корень хороший |
| Перепутать $\cup$ и $\cap$ | Объединение ($\cup$) — «или»; пересечение ($\cap$) — «и» |
| Не проверить $D \ge 0$ | Если корни есть, дискриминант должен быть неотрицательным |
Если два корня совпадают при каком-то значении $a$, то «два разных корня» превращаются в «один корень». Это может изменить ответ — всегда проверяйте совпадения!
Подпишись — и вся теория откроется
72 темы ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.