Метод «гвоздиков». Теорема Виета с параметром
Теорема Виета для параметра, расположение корней относительно заданных точек
Содержание 6 разделов
1. Задание №19: что это такое?
Задание №19 — это задача с параметром. Одна из самых сложных в ЕГЭ по математике, но при правильном подходе её можно решить на максимальные 4 балла.
Что такое параметр? Это буква (обычно $a$), которая входит в уравнение или неравенство наряду с переменной $x$. В отличие от $x$, которую мы ищем, параметр $a$ может принимать любые значения. Задача состоит в том, чтобы найти все такие значения $a$, при которых уравнение/неравенство/система обладает заданным свойством.
«Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно 2 корня» — это значит: перебрать все возможные $a$ и оставить только те, при которых уравнение даёт ровно два решения.
2. Классификация методов решения задач с параметром
Все задачи с параметром можно решить одним из трёх основных методов (или их комбинацией):
| Метод | Когда применять | Что делать |
| Аналитический | Уравнение сводится к квадратному или легко решается относительно $x$ | Считаем $a$ константой, решаем уравнение, анализируем корни |
| Графический | Можно выразить $a$ через $x$ или построить семейство кривых | Строим графики и смотрим, сколько точек пересечения |
| Функциональный | Есть монотонность, симметрия, оценки | Используем свойства функций (область значений, монотонность) |
Часто в одной задаче используют несколько методов. Например, сначала аналитически упрощают уравнение, а потом строят график.
3. Теорема Виета с параметром (ключевой метод!)
Теорема Виета — это основной инструмент для задач с параметром, связанных с корнями квадратного уравнения. Она позволяет определить знаки корней и их расположение относительно чисел, не вычисляя сами корни.
Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$:
Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$:
Стандартные условия на корни через Виета:
| Условие на корни | Что нужно проверить |
| Корни разных знаков | $x_1 x_2 < 0$ (произведение отрицательно) |
| Оба корня положительны | $x_1 + x_2 > 0$, $x_1 x_2 > 0$, $D \ge 0$ |
| Оба корня отрицательны | $x_1 + x_2 < 0$, $x_1 x_2 > 0$, $D \ge 0$ |
| Корни по разные стороны от $k$ | $a\cdot f(k) < 0$ (при $a>0$ это просто $f(k)<0$; знак $a$ важен, если старший коэффициент зависит от параметра) |
| Оба корня больше $k$ | $D \ge 0$, $x_1+x_2 > 2k$, $(x_1-k)(x_2-k) > 0$ |
| Оба корня меньше $k$ | $D \ge 0$, $x_1+x_2 < 2k$, $(x_1-k)(x_2-k) > 0$ |
Найдите все $a$, при которых оба корня уравнения $(a-3)x^2 - 2ax + 5a = 0$ положительны.
- Случай $a=3$: $-6x+15=0$ → $x=2{,}5 > 0$ — подходит.
- Случай $a \ne 3$: нужно $D > 0$, $x_1+x_2 > 0$, $x_1x_2 > 0$.
- Из Виета: $x_1+x_2 = \dfrac{2a}{a-3}$, $x_1x_2 = \dfrac{5a}{a-3}$.
- Решая систему, получаем $3 < a < \dfrac{15}{4}$.
- Объединяем с $a=3$: $a \in \left[3; \dfrac{15}{4}\right)$.
4. Метод «гвоздиков» (ключевой метод!)
Суть метода: мы «прибиваем» корни уравнения к нужному промежутку с помощью последовательных условий-ограничений. Каждое новое условие — это очередной «гвоздь».
Когда работает: когда параметр $a$ входит линейно (в первой степени), и его можно выразить через $x$.
Алгоритм метода «гвоздиков»:
- Первый «гвоздь»: дискриминант. Чтобы уравнение имело корни, нужно $D \ge 0$ (или $D > 0$ для двух корней).
- Второй «гвоздь»: значения на концах отрезка. Для параболы с ветвями вверх корни лежат на отрезке $[m;n]$ тогда и только тогда, когда $f(m) \ge 0$ и $f(n) \ge 0$.
- Третий «гвоздь»: вершина. Вершина параболы должна лежать между корнями: $m < x_0 < n$.
- Получаем систему неравенств (условий-гвоздей). Решаем её и находим допустимые $a$.
Схема «гвоздей» для параболы $f(x)=ax^2+bx+c$ с ветвями вверх ($a>0$):
| Условие на корни | «Гвозди» (неравенства) |
| Два корня на $[m;n]$ | $D > 0$, $f(m) \ge 0$, $f(n) \ge 0$, $m < x_0 < n$ |
| Ровно один корень на $[m;n]$ | $D \ge 0$, $f(m) \cdot f(n) \le 0$ (или $D=0$ и $m \le x_0 \le n$) |
| Корни больше $k$ | $D \ge 0$, $f(k) > 0$, $x_0 > k$ |
| Корни меньше $k$ | $D \ge 0$, $f(k) > 0$, $x_0 < k$ |
Найдите $a$, при которых $x^2 + 3ax - a^2 + 1 = 0$ имеет два корня из $[-3;0]$.
- Гвоздь 1: $D = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^2+1) = 9a^2 + 4a^2 - 4 = 13a^2 - 4 > 0$ → $|a| > \dfrac{2}{\sqrt{13}}$.
- Гвоздь 2: $f(-3) = 9 - 9a - a^2 + 1 = -a^2 - 9a + 10 \ge 0$ → $a \in [-10; 1]$.
- Гвоздь 3: $f(0) = -a^2 + 1 \ge 0$ → $a \in [-1; 1]$.
- Гвоздь 4: $x_0 = -\dfrac{3a}{2}$, $-3 < -\dfrac{3a}{2} < 0$ → $0 < a < 2$.
- Пересечение: $a \in \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}; 1\right]$.
5. Метод «хорошего» и «плохого» корня
Когда уравнение имеет несколько корней, и нужно, чтобы ровно один из них удовлетворял условию, используют метод «хорошего/плохого» корня.
Алгоритм:
- Находим все корни (через Виета или явно).
- Определяем, какой корень должен быть «хорошим» (удовлетворять условию).
- Рассматриваем все случаи — какой из корней хороший.
- Исключаем случаи, когда «хороший» совпадает с «плохим» (тогда корней становится меньше).
Уравнение $\ln(3x-1) \cdot \sqrt{x^2 - 8x + 8a - a^2} = 0$ имеет ровно один корень на $[0;4]$.
- Корень $x_1 = \dfrac{2}{3}$ — хороший при $a \in \left[\dfrac{2}{3}; \dfrac{22}{3}\right]$.
- Корень $x_2 = a$ — хороший при $a \in \left(\dfrac{1}{3}; 4\right]$.
- Корень $x_3 = 8-a$ — хороший при $a \in \left[4; \dfrac{23}{3}\right)$.
- Находим пересечения и исключаем совпадения.
- Ответ: $a \in \left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}\right] \cup \left[\dfrac{22}{3}; \dfrac{23}{3}\right)$.
6. Сравнение методов решения задач с параметром
| Метод | Когда применять | Плюсы | Минусы |
| Теорема Виета | Нужны знаки корней или их расположение | Быстро, без вычислений | Не работает для неполных квадратных |
| Гвоздики | Парабола, корни на отрезке | Наглядно, последовательно | Много неравенств |
| Хороший/плохой корень | Несколько корней, ровно один с условием | Универсально | Много случаев |
| Графический | Можно построить график | Наглядно | Не всегда точный |
Подпишись — и вся теория откроется
72 темы ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.