← Маршрут ЕГЭ
Тема 48 из 72 · Стереометрия

Разбор сложных задач №15

Комбинированные многогранники: сечения и объём в одной задаче

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 16 разделов
  1. Разбор сложных задач стереометрии (№15)
  2. Общая структура задачи №15
  3. Классификация задач №15 по темам
  4. Общая стратегия решения
  5. Метод 1: Классический (синтетический) метод
  6. Угол между плоскостями (двугранный угол)
  7. Угол между прямой и плоскостью
  8. Расстояние от точки до плоскости
  9. Применение теоремы о трёх перпендикулярах
  10. Метод 2: Координатный метод
  11. Построение координатной системы
  12. Угол между плоскостями (координатный способ)
  13. Угол между прямой и плоскостью (координатный способ)
  14. Расстояние от точки до плоскости (координатный способ)
  15. Сравнение методов: когда что выбирать
  16. Типовые примеры

Разбор сложных задач стереометрии (№15)

Применяется для задач на нахождение угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости и до прямой в многогранниках. Это одно из самых сложных заданий ЕГЭ по стереометрии (3 балла).

Общая структура задачи №15

Задача №15 всегда состоит из двух пунктов:

  • Пункт а) — доказательство некоторого геометрического факта (перпендикулярность, параллельность, принадлежность точки).
  • Пункт б) — вычисление (угол, расстояние, объём).

Важное правило: результат пункта а) почти всегда используется в пункте б).

Классификация задач №15 по темам

В заданиях №15 встречаются следующие типы задач:

  • Расстояние между прямыми и плоскостями — 48 задач.
  • Расстояние между точками, от точки до прямой — 27 задач.
  • Расстояние от точки до плоскости — 68 задач.
  • Сечения пирамид — 80 задач (самый частый тип).
  • Сечения призм — 35 задач.
  • Сечения параллелепипедов — 27 задач.
  • Угол между плоскостями — 57 задач.
  • Угол между плоскостями граней многогранника — 24 задачи.
  • Угол между прямой и плоскостью — 28 задач.
  • Угол между скрещивающимися прямыми — 27 задач.
  • Объёмы многогранников — 60 задач.
  • Сечения круглых тел — 3 задачи.
  • Круглые тела: цилиндр, конус, шар — 37 задач.
  • Комбинации фигур — 19 задач.

Общая стратегия решения

  1. Определить тип тела (призма, пирамида, комбинация) и построить аккуратный чертёж в изометрии, отметив все известные рёбра и углы.
  2. Выбрать метод: классический (синтетический) или координатный.
  3. Если есть естественная прямоугольная система координат (основание — прямоугольник, есть перпендикулярное ребро) — почти всегда выгоднее координатный метод.
  4. Если тело — правильная пирамида/призма с наклонными рёбрами — часто быстрее классический метод через апофему и высоту.
  5. Пункт а) → пункт б): результат доказательства используется в вычислениях.

Метод 1: Классический (синтетический) метод

Угол между плоскостями (двугранный угол)

  1. Найти прямую пересечения двух плоскостей.
  2. В каждой плоскости построить перпендикуляр к этой прямой из одной и той же точки на ней — это линейный угол двугранного угла.
  3. Найти этот угол через тригонометрию в получившемся треугольнике (часто прямоугольном).
$$\text{Линейный угол двугранного угла — это угол между перпендикулярами к ребру в каждой из плоскостей}$$

Угол между прямой и плоскостью

Классически: угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Для его нахождения:

  1. Опускают перпендикуляр из точки прямой на плоскость.
  2. Соединяют основание перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости.
  3. Рассматривают прямоугольный треугольник, в котором искомый угол — один из острых.

Расстояние от точки до плоскости

Метод объёмов. Если точка — вершина тетраэдра, а плоскость содержит противоположную грань:

$$\rho = \frac{3V}{S_{\text{грани}}}$$

Объём тетраэдра можно посчитать двумя разными способами (выбирая разные грани за основание), откуда сразу выражается искомое расстояние.

Применение теоремы о трёх перпендикулярах

Теорема: если $AH \perp \alpha$, $HK \perp l$, $l \subset \alpha$, то $AK \perp l$.

Это ключевой инструмент для построения линейного угла двугранного угла без координат: из точки на одном ребре опускают перпендикуляр на плоскость, а из его основания — перпендикуляр на линию пересечения плоскостей.

Важно

Теорема о трёх перпендикулярах работает в обе стороны. Если $AH \perp \alpha$, $AK \perp l$, то $HK \perp l$. Это часто используют для доказательства перпендикулярности в пункте а).

Метод 2: Координатный метод

Построение координатной системы

  1. Начало координат — в вершине с прямым трёхгранным углом (если есть) или в центре симметрии основания.
  2. Оси $Ox$, $Oy$ направляют вдоль перпендикулярных рёбер основания.
  3. Ось $Oz$ — вдоль высоты тела (перпендикулярно основанию).
  4. Если основание — правильный многоугольник без прямых углов (например, правильный треугольник или шестиугольник), координаты вершин выражают через тригонометрические функции.
  5. Все векторы плоскостей (нормали) находят как векторное произведение: $\vec n = \vec u \times \vec v$.

Угол между плоскостями (координатный способ)

$$\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}$$

где $\vec n_1$ и $\vec n_2$ — нормали к плоскостям.

Угол между прямой и плоскостью (координатный способ)

$$\sin\varphi = \frac{|\vec s \cdot \vec n|}{|\vec s| \cdot |\vec n|}$$

где $\vec s$ — направляющий вектор прямой, $\vec n$ — нормаль плоскости.

Расстояние от точки до плоскости (координатный способ)

Если плоскость задана уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, а точка имеет координаты $(x_0,y_0,z_0)$:

$$\rho = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
Важно

При координатном методе главная ошибка — неверно найденные координаты вершин наклонных рёбер. Перед вычислением нормалей всегда проверяйте, что длины полученных векторов совпадают с данными длинами рёбер по условию.

Сравнение методов: когда что выбирать

Ситуация Какой метод лучше Почему
Куб, прямоугольный параллелепипед Координатный Естественная система координат
Прямая призма с прямоугольным основанием Координатный Прямые углы в основании
Правильная пирамида Любой Координаты дают меньше ошибок
Тетраэдр общего вида Координатный С параметром длины ребра
Задачи на доказательство перпендикулярности Классический Теорема о трёх перпендикулярах
Задачи с наклонными рёбрами Классический Через апофему и высоту

Типовые примеры

Пример (правильная пирамида)

В правильной четырёхугольной пирамиде с вершиной $S$ и основанием $ABCD$ найдите угол между плоскостью $SBC$ и плоскостью основания, если сторона основания $a$, а высота пирамиды $h$.

Решение (классическое):

  1. Пусть $O$ — центр основания, $M$ — середина $BC$. Тогда $OM = \dfrac{a}{2}$.
  2. В прямоугольном треугольнике $SOM$: $\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{SO}{OM} = \dfrac{h}{a/2} = \dfrac{2h}{a}$.
  3. Угол $\varphi$ — искомый угол между плоскостью $SBC$ и основанием.

Ответ: $\varphi = \arctg\left(\dfrac{2h}{a}\right)$.

← 47. Метод координат в стереометрии