Тема 47 из 72 · Стереометрия

Метод координат в стереометрии

Координаты точки, вектор в пространстве, скалярное произведение

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Введение координат

Метод координат — это способ решения стереометрических задач, при котором все точки, векторы и плоскости задаются координатами. Это позволяет свести геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям.

Как выбрать систему координат:

Выбираем начало координат — удобную вершину фигуры (например, вершину куба или пирамиды).
Направляем оси вдоль рёбер фигуры (для куба, параллелепипеда).
Оси должны быть взаимно перпендикулярными.

Координаты вершин куба

Для куба с ребром $a$ вершины имеют координаты:

$$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$$

$$A'(0,0,a),\ B'(a,0,a),\ C'(a,a,a),\ D'(0,a,a)$$

Координаты вершин прямоугольного параллелепипеда

Для параллелепипеда с рёбрами $a, b, c$ (вдоль осей $x, y, z$):

$$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,b,0),\ D(0,b,0)$$

$$A'(0,0,c),\ B'(a,0,c),\ C'(a,b,c),\ D'(0,b,c)$$

Основные формулы метода координат

1. Координаты вектора

Если даны точки $A(x_1,y_1,z_1)$ и $B(x_2,y_2,z_2)$, то:

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1)$$

2. Длина вектора (расстояние между точками)

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

$$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$

3. Скалярное произведение векторов

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

4. Косинус угла между векторами

$$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Нормаль к плоскости

Нормаль — это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана уравнением $ax + by + cz + d = 0$, то нормаль к ней:

$$\vec n = (a; b; c)$$

Чтобы найти нормаль к плоскости через три точки $P_1, P_2, P_3$:

Находим два вектора в плоскости: $\vec v_1 = \overrightarrow{P_1P_2}$ и $\vec v_2 = \overrightarrow{P_1P_3}$.
Находим их векторное произведение: $\vec n = \vec v_1 \times \vec v_2$.

Векторное произведение вычисляется по формуле:

$$\vec v_1 \times \vec v_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \end{vmatrix}$$

или в координатах:

$$\vec v_1 \times \vec v_2 = (v_{1y}v_{2z} - v_{1z}v_{2y};\ v_{1z}v_{2x} - v_{1x}v_{2z};\ v_{1x}v_{2y} - v_{1y}v_{2x})$$

Важно

Для простых задач ЕГЭ нормаль можно подобрать из условий $\vec n \cdot \vec v_1 = 0$ и $\vec n \cdot \vec v_2 = 0$ (система двух уравнений). Обычно нормаль получается с простыми координатами.

Углы в пространстве через координаты

Угол между прямыми

Находим направляющие векторы прямых и используем формулу:

$$\cos\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a| \cdot |\vec b|}$$

Берём модуль, так как угол между прямыми всегда острый.

Угол между прямой и плоскостью

Если $\vec a$ — направляющий вектор прямой, $\vec n$ — нормаль плоскости, то:

$$\sin\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec n|}{|\vec a| \cdot |\vec n|}$$

Почему синус? Потому что угол между прямой и плоскостью — это дополнение угла между прямой и нормалью до $90^\circ$.

Угол между плоскостями

Если $\vec n_1$ и $\vec n_2$ — нормали плоскостей, то:

$$\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}$$

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Расстояние от точки до плоскости

Если плоскость задана уравнением $ax + by + cz + d = 0$, а точка имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$:

$$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми (координатный метод)

Находим направляющие векторы прямых $\vec a$ и $\vec b$.
Находим вектор $\vec c$, соединяющий точки на прямых.
Расстояние вычисляется по формуле:

$$d = \frac{|(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c|}{|\vec a \times \vec b|}$$

Примеры

Пример 1 (куб, угол между прямой и плоскостью)

Куб с ребром 1. Найдите угол между прямой $AC'$ и плоскостью $ABCD$.

Вводим координаты: $A(0,0,0)$, $C'(1,1,1)$.
Направляющий вектор прямой: $\vec{AC'} = (1,1,1)$.
Нормаль плоскости $ABCD$: $\vec n = (0,0,1)$.
$\sin\varphi = \dfrac{|\vec{AC'} \cdot \vec n|}{|\vec{AC'}| \cdot |\vec n|} = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
$\varphi = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\varphi = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Пример 2 (куб, угол между плоскостями)

Куб с ребром 2. Найдите угол между плоскостями $AB'C'$ и $ABCD$.

Координаты: $A(0,0,0)$, $B'(2,0,2)$, $C'(2,2,2)$.
Нормаль плоскости $ABCD$: $\vec n_1 = (0,0,1)$.
Векторы в плоскости $AB'C'$: $\vec{AB'} = (2,0,2)$, $\vec{AC'} = (2,2,2)$.
Нормаль: $\vec n_2 = \vec{AB'} \times \vec{AC'} = (-4,0,4)$.
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} = \dfrac{4}{1 \cdot 4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
$\varphi = 45^\circ$.

Ответ: $\varphi = 45^\circ$.

Пример 3 (расстояние от точки до плоскости)

Найдите расстояние от точки $(1,2,2)$ до плоскости $x+y+z-3=0$.

$d = \dfrac{|1\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot2 - 3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \dfrac{|1+2+2-3|}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $d = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Пример 4 (нахождение нормали)

Найдите нормаль к плоскости, содержащей точки $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(0,1,1)$.

$\vec{AB} = (1,0,0)$, $\vec{AC} = (0,1,1)$.
$\vec n = \vec{AB} \times \vec{AC} = (0\cdot1 - 0\cdot1;\ 0\cdot0 - 1\cdot1;\ 1\cdot1 - 0\cdot0) = (0,-1,1)$.

Ответ: $\vec n = (0,-1,1)$.

← 46. Построение сечений. Площадь сечения 48. Разбор сложных задач №15 →