Тема 46 из 72 · Стереометрия

Построение сечений. Площадь сечения

Метод следов, сечения куба, призмы и пирамиды

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Что такое сечение и метод следов

Сечение — это плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью. Плоскость, которая «разрезает» многогранник, называется секущей плоскостью.

След — это линия пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани многогранника. Если секущая плоскость пересекает грань, то линия пересечения (след) принадлежит одновременно и плоскости грани, и секущей плоскости.

Важно

Принцип метода следов: чтобы построить след на грани, нужно найти две общие точки секущей плоскости и плоскости этой грани. Через эти две точки проходит прямая — след.

Алгоритм построения сечения методом следов

Найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника (обычно они даны в условии или находятся как пересечение прямых).
В каждой грани построить след — линию пересечения секущей плоскости с этой гранью. Для этого нужно найти две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости и грани.
Соединить найденные точки в порядке обхода — получится многоугольник сечения.
Проверить, что все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника (или на гранях).

Важные правила построения сечений

Правило 1. Если две точки сечения лежат в одной грани, то прямая, проходящая через них, является следом в этой грани.
Правило 2. Если секущая плоскость пересекает параллельные грани, то линии пересечения (следы) в этих гранях параллельны.
Правило 3. Если секущая плоскость содержит прямую, параллельную некоторой грани, то след в этой грани будет параллелен этой прямой.
Правило 4. Если две точки сечения лежат в параллельных гранях, соединяющие их отрезки сечения параллельны.

Типовые сечения куба

Для куба со стороной $a$ часто встречаются следующие сечения:

Треугольное сечение (через 3 вершины) — прямоугольный треугольник. Если взять вершины, не лежащие на одной грани, получается равносторонний треугольник.
Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами $a$ и $a\sqrt{2}$ (диагональ грани).
Сечение через середины противоположных рёбер — правильный шестиугольник, площадь $S = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.
Сечение через середины рёбер, выходящих из одной вершины — правильный треугольник, площадь $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь сечения

После построения сечения его площадь вычисляется как площадь обычной плоской фигуры (треугольника, трапеции, прямоугольника, шестиугольника и т.д.).

Важное свойство: если сечение параллельно основанию пирамиды, то оно подобно основанию. Коэффициент подобия равен отношению расстояний от вершины:

$$k = \frac{h'}{H}$$

где $h'$ — расстояние от вершины до плоскости сечения, $H$ — полная высота пирамиды.

$$S_{\text{сеч}} = S_{\text{осн}} \cdot k^2 = S_{\text{осн}} \cdot \left(\frac{h'}{H}\right)^2$$

Важно

Сечение, параллельное основанию пирамиды, всегда подобно основанию. Это позволяет находить площадь сечения, не строя его полностью!

Примеры построения сечений

Пример 1 (диагональное сечение куба)

Куб $ABCDA'B'C'D'$ со стороной 6. Найдите площадь диагонального сечения (через рёбра $AB$ и $C'D'$).

Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами $a=6$ и диагональю грани $a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
$S = 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$.

Ответ: $S = 36\sqrt{2}$.

Пример 2 (сечение через середины рёбер)

Куб со стороной 4. Сечение проведено через середины 6 рёбер — получается правильный шестиугольник. Найдите его площадь.

Сторона шестиугольника равна половине диагонали грани: $\dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Площадь правильного шестиугольника: $S = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot (2\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \cdot 8 \cdot \sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$.

Ответ: $S = 12\sqrt{3}$.

Пример 3 (построение сечения)

Как построить сечение куба $ABCDA'B'C'D'$ через точки $A$, $B'$, $C$?

$A$, $B'$, $C$ — три вершины куба, никакие две из них не соединены ребром напрямую, все три отрезка $AB'$, $B'C$, $AC$ — диагонали граней.
Каждая из диагоналей граней $AB'$, $B'C$, $AC$ имеет длину $a\sqrt2$ (где $a$ — ребро куба) — сечение является треугольником с тремя равными сторонами, то есть равносторонним треугольником со стороной $a\sqrt2$. Точка $D'$ в это сечение не входит.

Ответ: равносторонний треугольник $AB'C$ со стороной $a\sqrt2$.

Пример 4 (параллельное сечение пирамиды)

В правильной четырёхугольной пирамиде высота $H = 12$. На расстоянии $h' = 8$ от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите площадь сечения, если площадь основания $S_{\text{осн}} = 100$.

Коэффициент подобия: $k = \dfrac{h'}{H} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.
Площадь сечения: $S_{\text{сеч}} = S_{\text{осн}} \cdot k^2 = 100 \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{400}{9}$.

Ответ: $S_{\text{сеч}} = \dfrac{400}{9}$.

← 45. Цилиндр. Конус. Шар и сфера 47. Метод координат в стереометрии →