← Маршрут ЕГЭ
Тема 45 из 72 · Стереометрия

Цилиндр. Конус. Шар и сфера

V=πR²h, V=⅓πR²h, V=4/3·πR³, S=4πR²

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Цилиндр

Цилиндр — тело вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Осевое сечение — прямоугольник $2R\times h$.

$$V=\pi R^2 h,\qquad S_{\text{бок}}=2\pi Rh,\qquad S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)$$

Конус

Конус — тело вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Осевое сечение — равнобедренный треугольник. Угол при вершине осевого сечения: $\operatorname{tg}\dfrac{\varphi}{2}=\dfrac{R}{h}$.

$$V=\frac13\pi R^2 h,\qquad l=\sqrt{R^2+h^2},\qquad S_{\text{бок}}=\pi Rl$$

Объём конуса составляет $\dfrac13$ объёма цилиндра с теми же основанием и высотой (аналогично $V_{\text{пирамиды}}=\dfrac13 V_{\text{призмы}}$).

Шар и сфера

$$V=\frac43\pi R^3,\qquad S=4\pi R^2$$

Шар, вписанный в куб: $R=\dfrac{a}{2}$. Шар, описанный вокруг куба: $R=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Шар, вписанный в цилиндр: $R_{\text{ш}}=R_{\text{цил}}$, $h=2R$. Шар, вписанный в конус: $r_{\text{ш}}=\dfrac{r_{\text{кон}}\cdot h}{r_{\text{кон}}+l}$.

Важно

Площадь большого круга (сечение шара через центр) равна $\pi R^2$. Площадь поверхности шара равна площади четырёх таких кругов: $S=4\pi R^2$.

Пример

В куб со стороной 4 вписан шар. Найдите радиус шара.

  1. Шар касается всех граней куба, значит его диаметр равен ребру куба: $2R=4$, $R=2$.

Ответ: $R=2$.

← 44. Пирамида. Тетраэдр. Усечённая пирамида