← Маршрут ЕГЭ
Тема 44 из 72 · Стереометрия

Пирамида. Тетраэдр. Усечённая пирамида

V=⅓Sh, апофема, объём усечённой пирамиды

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Пирамида

Пирамида — многогранник с одним основанием (многоугольником) и треугольными боковыми гранями, сходящимися в вершине. Правильная пирамида: основание — правильный многоугольник, вершина проецируется в его центр.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды (отрезок от вершины пирамиды до середины ребра основания).

Важно

Формула $V=\dfrac13\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$ работает для ЛЮБОЙ пирамиды (не только правильной), если $h$ — перпендикулярная высота от вершины до плоскости основания.

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр (ребро $a$): все грани — правильные треугольники, все 6 рёбер равны.

Вывод высоты тетраэдра

Рассмотрим правильный тетраэдр $ABCD$ с ребром $a$. Пусть $O$ — центр основания $ABC$, $H$ — вершина тетраэдра.

В правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a$ радиус описанной окружности:

$$AO = R_{\text{осн}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Треугольник $AOH$ — прямоугольный ($OH \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:

$$AH^2 = AO^2 + OH^2$$

Подставляем $AH = a$ (ребро тетраэдра) и $AO = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$:

$$a^2 = \frac{a^2}{3} + h^2 \Rightarrow h^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$$
$$h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$$

Вывод объёма тетраэдра

Площадь основания (правильный треугольник со стороной $a$):

$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Объём тетраэдра:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$

Вывод радиуса описанной сферы

Центр описанной сферы $O_1$ лежит на высоте $OH$. Обозначим $OO_1 = x$. Тогда $O_1H = h - x$.

Так как точка $O_1$ равноудалена от всех вершин тетраэдра, $O_1A = O_1H = R$.

В прямоугольном треугольнике $AOO_1$:

$$R^2 = AO^2 + OO_1^2 = \frac{a^2}{3} + x^2$$

С другой стороны, $R = O_1H = h - x = \dfrac{a\sqrt{6}}{3} - x$.

Приравниваем:

$$\frac{a^2}{3} + x^2 = \left(\frac{a\sqrt{6}}{3} - x\right)^2$$
$$\frac{a^2}{3} + x^2 = \frac{6a^2}{9} - \frac{2a\sqrt{6}}{3}x + x^2$$
$$\frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} - \frac{2a\sqrt{6}}{3}x$$
$$\frac{2a\sqrt{6}}{3}x = \frac{a^2}{3} \Rightarrow x = \frac{a}{2\sqrt{6}}$$
$$R = h - x = \frac{a\sqrt{6}}{3} - \frac{a}{2\sqrt{6}} = \frac{2a\sqrt{6}}{6} - \frac{a}{2\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$$

Вывод радиуса вписанной сферы

Радиус вписанной сферы можно найти из соотношения $R = 3r$ (центр описанной и вписанной сфер лежат на одной высоте, и точка их пересечения делит высоту в отношении $3:1$).

$$r = \frac{R}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$$

Итоговые формулы для правильного тетраэдра с ребром $a$:

$$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12},\qquad S = a^2\sqrt{3},\qquad h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$$
$$R = \frac{a\sqrt{6}}{4}\ \text{(описанная сфера)},\qquad r = \frac{a\sqrt{6}}{12} = \frac{R}{3}\ \text{(вписанная сфера)}$$

Центр описанной сферы делит высоту тетраэдра в отношении $3:1$, считая от вершины.

Усечённая пирамида

Усечённая пирамида получается отсечением параллельной основанию плоскости. Боковые грани — трапеции. Если основания подобны с коэффициентом $k$, высоты подобной части относятся как $1:k$.

$$V = \frac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)$$
$$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}\ \text{(апофема усечённой пирамиды)}$$
Пример

Правильный тетраэдр с ребром 6. Найдите объём и высоту.

  1. $V = \dfrac{6^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2}$.
  2. $h = \dfrac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $V = 18\sqrt{2}$; $h = 2\sqrt{6}$.

← 43. Призма. Параллелепипед. Куб