Призма. Параллелепипед. Куб
V=S·h, площадь боковой поверхности, диагональ прямоугольного параллелепипеда
Призма
Призма — многогранник с двумя параллельными равными основаниями (многоугольниками) и боковыми гранями-параллелограммами. Прямая призма: боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
Правильная треугольная призма (сторона $a$, высота $h$): $V=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot h$.
В наклонной призме высота не равна длине бокового ребра. Объём всё равно $V=S_{\text{осн}}\cdot h$, где $h$ — перпендикулярное расстояние между основаниями, а не длина ребра.
Параллелепипед и куб
Параллелепипед — призма, в основании которой параллелограмм. Прямоугольный параллелепипед: все углы прямые. Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
Для нахождения углов в кубе часто используют скалярное произведение векторов-диагоналей.
Сечение куба плоскостью через три вершины: если плоскость параллельна ребру — сечение прямоугольник; если три вершины не лежат на одной грани — сечение треугольник или шестиугольник.
Прямая треугольная призма: в основании правильный треугольник со стороной 4, высота призмы 6. Найдите объём и площадь полной поверхности.
- $S_{\text{осн}}=\dfrac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3$.
- $V=S_{\text{осн}}\cdot h=4\sqrt3\cdot6=24\sqrt3$.
- $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=(3\cdot4)\cdot6=72$.
- $S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=8\sqrt3+72$.
Ответ: $V=24\sqrt3$; $S_{\text{полн}}=72+8\sqrt3$.
Куб со стороной 5. Найдите диагональ куба, диагональ грани и объём.
- Диагональ куба: $d=5\sqrt3$.
- Диагональ грани: $5\sqrt2$.
- Объём: $V=5^3=125$.
Ответ: $d=5\sqrt3$; диагональ грани $5\sqrt2$; $V=125$.
Прямоугольный параллелепипед $6\times6\times6$ (куб). Найдите координаты вершины, противоположной началу координат $A(0,0,0)$.
- Противоположная вершина: $C'(6,6,6)$.
Ответ: $C'(6,6,6)$.
Подпишись — и вся теория откроется
72 темы ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.