Перпендикулярность. Теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($l\perp\alpha$), если она перпендикулярна любой прямой в $\alpha$, проходящей через точку пересечения.

1. Следствие: если $l\perp\alpha$, то $l$ перпендикулярна любой прямой в $\alpha$.
2. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Перпендикуляр из точки на плоскость единственный. Расстояние от точки до плоскости равно длине этого перпендикуляра. Наклонная всегда длиннее перпендикуляра.

Теорема о трёх перпендикулярах

Пусть точка $A$ лежит вне плоскости $\alpha$, $AH\perp\alpha$ ($H$ — основание перпендикуляра, лежит в $\alpha$), $AM$ — наклонная к плоскости $\alpha$ ($M\in\alpha$). Тогда $HM$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. Пусть $l$ — произвольная прямая в плоскости $\alpha$, проходящая через точку $M$. Тогда:

Углы и расстояния в пространстве

Стратегия нахождения угла между плоскостями: 1) найти нормали к обеим плоскостям; 2) $\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$. Альтернатива — построить линейный (двугранный) угол по общему ребру.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Угол между двумя плоскостями — угол между их нормалями (или его дополнение до $180^\circ$). Двугранный угол — угол между полуплоскостями вдоль общего ребра.