Аксиомы стереометрии. Параллельность

Аксиомы стереометрии

Пространство — трёхмерное множество точек. Основные объекты: точки, прямые, плоскости.

1. Аксиома 1: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
2. Аксиома 2: если два конца отрезка лежат в плоскости, то весь отрезок лежит в этой плоскости.
3. Аксиома 3: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
4. Следствие: через прямую и точку вне её проходит единственная плоскость.

Взаимное расположение прямых в пространстве: параллельные (лежат в одной плоскости, не пересекаются), пересекающиеся (одна плоскость, одна общая точка), скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Параллельность в пространстве

Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в плоскости и не пересекает её.

Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна какой-то прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости параллельны, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости.

Теорема: если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, она пересекает и другую.

Транзитивность: если $a\parallel b$ и $b\parallel c$, то $a\parallel c$. Но если $a\parallel\alpha$ и $b\parallel\alpha$, прямые $a$ и $b$ могут не быть параллельны между собой (могут скрещиваться).

В задачах ЕГЭ часто используют: противоположные рёбра параллелепипеда параллельны. Рёбра параллелепипеда без общей вершины — параллельны или скрещиваются.