Тема 55 из 72 · Параметры

Задачи с модулем и параметром. Кусочный анализ

Раскрытие модуля по промежуткам, кусочный анализ с параметром

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Содержание 13 разделов

1. Модуль: что это и как с ним работать
2. Основные формулы для уравнений с модулем
3. Методы решения уравнений с модулем
Метод 1: Раскрытие по определению
Метод 2: Возведение в квадрат
Метод 3: Геометрический (для $|x-a|$)
4. Кусочно-заданные функции
5. Уравнения с модулем и параметром
6. Пример 1: $|x-a| = 2x + 1$
7. Пример 2: $|x-a| = x+2$ (единственное решение)
8. Пример 3: $|x-1| + |x-3| = a$
9. Пример 4: Кусочная функция с параметром
10. Типичные ошибки

1. Модуль: что это и как с ним работать

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Поэтому модуль всегда неотрицателен: $|a| \ge 0$.

$$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$$

Геометрический смысл: $|x-a|$ — это расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой.

Пример

$|x-3|$ — расстояние от точки $x$ до точки $3$.

$|x+2|$ — расстояние от $x$ до $-2$ (потому что $x+2 = x-(-2)$).

2. Основные формулы для уравнений с модулем

$$|f(x)| = g(x) \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \ \text{или} \ f(x) = -g(x) \end{cases}$$

$$|f(x)| < a \;(a>0) \;\Leftrightarrow\; -a < f(x) < a$$

$$|f(x)| > a \;(a>0) \;\Leftrightarrow\; f(x) < -a \ \text{или} \ f(x) > a$$

Важно

При $|f(x)| = g(x)$ обязательно проверять $g(x) \ge 0$! Если $g(x) < 0$, решений нет.

3. Методы решения уравнений с модулем

Метод 1: Раскрытие по определению

Найти нули подмодульного выражения: $f(x) = 0$.
Разбить числовую прямую на промежутки.
На каждом промежутке раскрыть модуль по правилу:

Если $f(x) \ge 0$, то $|f(x)| = f(x)$.
Если $f(x) < 0$, то $|f(x)| = -f(x)$.

Решить уравнение на каждом промежутке.
Проверить, входят ли корни в ОДЗ промежутка.

Метод 2: Возведение в квадрат

Применяется, когда обе части уравнения неотрицательны:

$$|A| = |B| \;\Leftrightarrow\; A^2 = B^2 \;\Leftrightarrow\; (A-B)(A+B) = 0$$

Пример

$|2x-1| = |x+3|$ → $(2x-1)^2 = (x+3)^2$ → $(2x-1 - x - 3)(2x-1 + x + 3) = 0$ → $(x-4)(3x+2) = 0$ → $x = 4$ или $x = -\dfrac{2}{3}$.

Метод 3: Геометрический (для $|x-a|$)

Уравнение $|x-a| = b$ ($b \ge 0$) означает: расстояние от $x$ до $a$ равно $b$. Значит, $x = a - b$ или $x = a + b$.

Пример

$|x-5| = 3$ → расстояние от $x$ до $5$ равно $3$ → $x = 2$ или $x = 8$.

4. Кусочно-заданные функции

Функция, которая на разных промежутках задаётся разными формулами:

$$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in D_1 \\ f_2(x), & x \in D_2 \\ \dots \end{cases}$$

Как строить график:

Построить каждую часть на своём промежутке.
Проверить стыковку: значения функций на границе должны совпадать (иначе разрыв).

Пример

$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ x^2, & x \ge 0 \end{cases}$

При $x=0$: $f(0) = 0$ (по второй формуле). Первая формула в $x=0$ даёт $1$ → разрыв.

5. Уравнения с модулем и параметром

Когда в уравнении с модулем есть параметр $a$, алгоритм такой:

Раскрыть модуль по знаку подмодульного выражения.
Решить уравнение в каждом случае (получаются выражения для $x$ через $a$).
Проверить ОДЗ каждого случая — при каких $a$ найденные $x$ принадлежат своему промежутку.
Собрать ответ — объединить все подходящие $a$.

6. Пример 1: $|x-a| = 2x + 1$

Пример 1

Найдите все $a$, при которых уравнение $|x-a| = 2x + 1$ имеет решение.

Решение.

Раскрываем модуль:

Случай 1: $x \ge a$. Тогда $x-a = 2x+1$ → $x = -a-1$.
Случай 2: $x < a$. Тогда $a-x = 2x+1$ → $x = \dfrac{a-1}{3}$.

Проверяем ОДЗ каждого случая:

Для случая 1: $x \ge a$ → $-a-1 \ge a$ → $-1 \ge 2a$ → $a \le -\dfrac{1}{2}$.
Для случая 2: $x < a$ → $\dfrac{a-1}{3} < a$ → $a-1 < 3a$ → $-1 < 2a$ → $a > -\dfrac{1}{2}$.

При $a \le -\dfrac{1}{2}$: решение есть (из случая 1).
При $a > -\dfrac{1}{2}$: решение есть (из случая 2).

Ответ: при любом $a$.

7. Пример 2: $|x-a| = x+2$ (единственное решение)

Пример 2

При каких $a$ уравнение $|x-a| = x+2$ имеет ровно одно решение?

Решение.

Правая часть: $x+2 \ge 0$ → $x \ge -2$.
Раскрываем модуль:

Случай 1: $x \ge a$: $x-a = x+2$ → $-a = 2$ → $a = -2$.
Случай 2: $x < a$: $a-x = x+2$ → $a-2 = 2x$ → $x = \dfrac{a-2}{2}$.

При $a = -2$: из первого случая получаем $x \ge -2$ — бесконечно много решений.
При $a \ne -2$: есть только решение из второго случая.
Проверяем ОДЗ для второго случая: $x < a$ и $x \ge -2$.
$x = \dfrac{a-2}{2} < a$ → $a-2 < 2a$ → $a > -2$.
Также $x \ge -2$ → $\dfrac{a-2}{2} \ge -2$ → $a-2 \ge -4$ → $a \ge -2$.
При $a > -2$: ровно одно решение.

Ответ: $a > -2$.

8. Пример 3: $|x-1| + |x-3| = a$

Пример 3

При каких $a$ уравнение $|x-1| + |x-3| = a$ имеет решение?

Решение (геометрическое).

$|x-1|$ — расстояние от $x$ до $1$.
$|x-3|$ — расстояние от $x$ до $3$.
Сумма расстояний от $x$ до $1$ и до $3$ минимальна, когда $x$ находится между $1$ и $3$.
Минимум: $|x-1| + |x-3| = (x-1) + (3-x) = 2$ при $x \in [1; 3]$.
Максимума нет (при $x \to \pm\infty$ сумма растёт).
Область значений: $[2; +\infty)$.

Ответ: $a \ge 2$.

9. Пример 4: Кусочная функция с параметром

Пример 4

При каких $a$ функция $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax, & x \le 0 \\ 2x + a, & x > 0 \end{cases}$ непрерывна?

Решение.

Непрерывность в точке $x=0$: значение слева должно равняться значению справа.
$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + a \cdot 0 = 0$.
$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 2 \cdot 0 + a = a$.
Условие непрерывности: $0 = a$ → $a = 0$.

Ответ: $a = 0$.

10. Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Забыть $g(x) \ge 0$ в $\|f\|=g$	Обязательно проверять! Если $g<0$, решений нет.
Потерять случай раскрытия модуля	Всегда два случая: $f(x) \ge 0$ и $f(x) < 0$.
Не проверить ОДЗ после раскрытия	Корень должен принадлежать своему промежутку!
Путать $\|f\|>a$ и $\|f\|	$\|f\|>a$ → $f<-a$ или $f>a$; $\|f\|
Не проверить стыковку кусочной функции	Значения слева и справа должны совпадать для непрерывности.

← 54. Метод областей. Знак выражения 56. Комплексные задачи №19. Стратегия решен… →