← Маршрут ЕГЭ
Тема 56 из 72 · Параметры

Комплексные задачи №19. Стратегия решения

Комбинирование методов части 2, стратегия разбора задачи №19

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 14 разделов
  1. 1. Задание №19: что это такое?
  2. 2. Классификация задач с параметром (по типам)
  3. 3. Пять основных методов решения задач с параметром
  4. 4. Метод 1: Аналитический (прямое решение)
  5. Алгоритм:
  6. 5. Метод 2: Графический (в системе $(x,y)$ или $(x,a)$)
  7. Способ А: график в осях $(x,y)$
  8. Способ Б: график в осях $(x,a)$
  9. 6. Метод 3: Виета и дискриминант
  10. 7. Метод 4: Симметричные замены
  11. 8. Метод 5: Оценки и монотонность
  12. 9. Пример: система с окружностью и уголком
  13. 10. Пошаговый алгоритм решения задания №19
  14. 11. Типичные ошибки

1. Задание №19: что это такое?

Задание №19 — одна из двух самых сложных задач профильного ЕГЭ по математике (наравне с №19, оба задания уровня «высокий»). Она оценивается в 4 первичных балла и требует глубокого понимания всех методов работы с параметром.

Что нужно сделать: найти все значения параметра $a$, при которых уравнение/неравенство/система обладает заданным свойством (ровно $k$ решений, решения принадлежат отрезку, все решения удовлетворяют условию и т.д.).

Важно

Задание №19 — это не одна задача, а целое семейство задач: при каждом значении $a$ получается своё уравнение. Нужно понять, как меняется множество решений в зависимости от $a$.

2. Классификация задач с параметром (по типам)

В заданиях №19 встречаются следующие типы задач:

Тип задачи Количество в банке Пример формулировки
Уравнения с параметром 48 шт. «Найдите все $a$, при которых уравнение имеет ровно 2 корня»
Уравнения с модулем и параметром 52 шт. «Найдите все $a$, при которых $|x^2 - 2ax| = 1$ имеет 4 корня»
Уравнения с радикалами и параметром 40 шт. «Найдите все $a$, при которых $\sqrt{x-a} = x$ имеет решение»
Неравенства с параметром 16 шт. «Найдите все $a$, при которых неравенство выполняется для всех $x$»
Системы с параметром 96 шт. «Найдите все $a$, при которых система имеет ровно 2 решения»
Расположение корней квадратного трёхчлена 17 шт. «Найдите все $a$, при которых корни принадлежат отрезку»
Использование симметрий 33 шт. «Найдите все $a$, при которых уравнение имеет ровно 1 корень»
Использование монотонности, оценок 41 шт. «Найдите все $a$, при которых $f(x) = g(x)$ имеет решение»
Аналитическое решение уравнений и неравенств 80 шт. «Решите уравнение с параметром»
Аналитическое решение систем 32 шт. «Решите систему с параметром»
Координаты $(x, a)$ 15 шт. «Найдите все $a$, при которых уравнение имеет решение»
Уравнение окружности 50 шт. «Найдите все $a$, при которых окружность и прямая имеют 2 точки»
Расстояние между точками 7 шт. «Найдите все $a$, при которых расстояние между точками равно 5»
Функции, зависящие от параметра 38 шт. «Найдите все $a$, при которых функция имеет экстремум»

3. Пять основных методов решения задач с параметром

Метод Суть Когда применять
1. Аналитический Решаем уравнение относительно $x$, считая $a$ константой Уравнение простое (квадратное, линейное, логарифмическое)
2. Графический Строим графики и считаем пересечения Можно построить график $a=h(x)$
3. Виета и дискриминант Анализируем корни квадратного уравнения Уравнение квадратное
4. Симметричные замены Вводим новую переменную, «поглощающую» симметрию Уравнение симметрично
5. Метод оценок (монотонность) Используем свойства функций Есть монотонность, ограниченность

4. Метод 1: Аналитический (прямое решение)

Алгоритм:

  1. Решить уравнение относительно $x$, считая $a$ буквенным коэффициентом.
  2. Разобрать вырожденные случаи: деление на выражение с $a$, коэффициент при старшей степени равен нулю.
  3. Наложить условие задачи (ровно $k$ корней, корни на отрезке и т.д.) и получить неравенство/уравнение для $a$.
  4. Решить полученное условие для $a$.
Важно

Всегда отдельно рассматривайте случаи обращения коэффициента при старшей степени в ноль! При $a=0$ уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным.

5. Метод 2: Графический (в системе $(x,y)$ или $(x,a)$)

Способ А: график в осях $(x,y)$

Одна часть уравнения — фиксированная кривая, вторая — семейство кривых, зависящих от $a$ (прямые, окружности).

Способ Б: график в осях $(x,a)$

Выражаем $a$ через $x$: $a = g(x)$. Затем строим график $y = g(x)$ и смотрим, сколько раз горизонтальная прямая $y = a$ его пересекает.

Пример

Найдите все $a$, при которых уравнение $x^2-2x = a$ имеет ровно одно решение на $[0;3]$.

Решение: строим параболу $a=x^2-2x$ на $[0;3]$: вершина $(1;-1)$, значения на концах: $a(0)=0$, $a(3)=3$. Ровно одно пересечение при $a=-1$ (вершина) и $a \in (0;3]$ (на правой ветви).

Ответ: $a \in \{-1\} \cup (0;3]$.

6. Метод 3: Виета и дискриминант

Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$$D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Условия на корни:

Условие Неравенства
Оба корня > $m$ $D \ge 0$, $f(m) > 0$, $x_0 > m$
Оба корня < $m$ $D \ge 0$, $f(m) > 0$, $x_0 < m$
Корни по разные стороны от $m$ $a\cdot f(m) < 0$ (при $a>0$ это просто $f(m)<0$)
Один корень на $(p;q)$ $f(p) \cdot f(q) < 0$
Оба корня на $(p;q)$ $D \ge 0$, $p < x_0 < q$, $f(p) \ge 0$, $f(q) \ge 0$

7. Метод 4: Симметричные замены

Если уравнение симметрично, вводим замену, которая «поглощает» симметрию.

Классические примеры:

  • Уравнение вида $f(x) + f(a-x) = c$ → замена $u = x - \dfrac{a}{2}$.
  • Симметричная система $x+y$ и $xy$ → замена $u = x+y$, $v = xy$.
  • Симметричное уравнение 4-й степени → делим на $x^2$, замена $t = x + \dfrac{1}{x}$.
Пример

Уравнение $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = a$ — это $(x+1)^4 = a$. Замена $t = x+1$ → $t^4 = a$.

8. Метод 5: Оценки и монотонность

Метод оценок: если $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$ при всех $x$, то $f(x) = g(x)$ возможно только при $f(x) = A$ и $g(x) = A$ одновременно.

Монотонность: если функция $f(x)$ строго монотонна, то $f(x) = f(y) \iff x = y$.

Пример

$x^2 + 2x + 2 = a$ имеет решение при $a \ge 1$ (минимум функции $f(x) = (x+1)^2 + 1$ равен 1).

9. Пример: система с окружностью и уголком

Пример (ЕГЭ-подобный)

Найдите все $a$, при которых система $\begin{cases}x^2+y^2=a^2\\ y=|x|-2\end{cases}$ имеет ровно два решения.

Решение.

  1. Первое уравнение — окружность радиуса $|a|$ с центром в $(0;0)$.
  2. Второе уравнение — «уголок» $y = |x| - 2$ с вершиной в $(0;-2)$.
  3. Нужно найти $a$, при которых окружность пересекает уголок ровно в двух точках.
  4. Исследуем касание окружности с прямыми $y = x-2$ и $y = -x-2$.
  5. Расстояние от центра $(0;0)$ до прямой $x-y-2=0$: $\rho = \dfrac{|0-0-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
  6. Касание при $|a| = \sqrt{2}$.
  7. Прохождение через вершину $(0;-2)$: $|a| = 2$.
  8. Ответ: $a \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

10. Пошаговый алгоритм решения задания №19

  1. Определить тип объекта: уравнение, неравенство или система. Найти, сколько переменных и где параметр.
  2. Упростить выражение: разложить на множители, привести к квадратному виду, сделать замену.
  3. Выбрать метод:
    • $a = g(x)$ → графический метод в $(x,a)$.
    • Квадратное относительно $x$ → дискриминант и Виета.
    • Симметрия → замена.
    • Монотонность/оценки → функциональный метод.
  4. Решить относительно параметра, аккуратно объединяя случаи.
  5. Проверить границы (открытые/закрытые) и вырожденные случаи отдельно.

11. Типичные ошибки

Ошибка Как правильно
Забыть случай $a=0$ Всегда проверяйте отдельно!
Не учесть ОДЗ ОДЗ — первым шагом
Путать $\cup$ и $\cap$ Объединение — «или», пересечение — «и»
Не проверить границы При $a$, равном экстремуму, число корней меняется
Не рассмотреть все случаи Перебирайте все варианты
← 55. Задачи с модулем и параметром. Кусочный…