← Маршрут ЕГЭ
Тема 60 из 72 · Теория чисел

Десятичная запись числа. Цифры

Разряды числа, сумма и произведение цифр, признаки делимости

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 11 разделов
  1. 1. Десятичная запись числа: что это и зачем
  2. 2. Свойства десятичной записи, важные для ЕГЭ
  3. Свойство 1. Сумма числа и его «переворота» (только для двузначных!)
  4. Свойство 2. Разность числа и его «переворота»
  5. Свойство 3. Сумма всех перестановок цифр
  6. 3. Делимость и цифры числа
  7. 4. Реальные задачи из ЕГЭ с разбором
  8. Задача 1 (ЕГЭ-2018, прототип)
  9. Задача 2 (У бизнесмена Пети)
  10. Задача 3 (ЕГЭ, прототип с переворотом)
  11. 5. Типичные ошибки

1. Десятичная запись числа: что это и зачем

Десятичная запись числа — это способ представления числа в виде суммы разрядов, умноженных на степени числа 10. Именно так мы записываем числа в повседневной жизни.

Любое $n$-значное число можно представить в виде:

$$\overline{a_{n-1} \ldots a_1 a_0} = a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0$$

где $a_i$ — цифры числа ($0 \le a_i \le 9$), а $a_{n-1} \neq 0$ (первая цифра не может быть нулём).

Примеры:

  • Двузначное число: $\overline{ab} = 10a + b$
  • Трёхзначное число: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$
  • Четырёхзначное число: $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$
Пример

Число $378$ можно записать как $3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 8$.

Число $\overline{5ab}$ означает $500 + 10a + b$.

2. Свойства десятичной записи, важные для ЕГЭ

Свойство 1. Сумма числа и его «переворота» (только для двузначных!)

Это свойство верно только для двузначных чисел: сумма числа и его «переворота» всегда делится на 11. Для трёх- и более значных чисел это неверно — не путайте!

$$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a+b)+(10b+a) = 11(a+b) \equiv 0 \pmod{11}$$

Почему только для двузначных? Для трёхзначного числа $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ и его переворота $\overline{cba} = 100c + 10b + a$ сумма равна $101(a+c) + 20b$, а это выражение не делится на 11 тождественно — например, $123 + 321 = 444 = 11\cdot40+4$, что не делится на 11. Свойство разности (см. ниже) сохраняется для любого числа цифр, а вот свойство суммы — только для двузначных.

Свойство 2. Разность числа и его «переворота»

Если из числа вычесть его переворот, то результат всегда делится на 9.

$$N - \text{переворот}(N) \equiv 0 \pmod{9}$$

Почему? Разность $100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 99(a-c)$, а $99$ делится на $9$.

Свойство 3. Сумма всех перестановок цифр

Если взять все перестановки цифр трёхзначного числа $a, b, c$, то их сумма равна $222(a+b+c)$.

$$S_{\text{всех перестановок}} = 222(a+b+c)$$
Пример

Для цифр $1, 2, 3$ все перестановки: $123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332$.

$222(1+2+3) = 222 \cdot 6 = 1332$. ✅

3. Делимость и цифры числа

Так как $10 \equiv 1 \pmod 9$, любое число сравнимо по модулю $9$ с суммой своих цифр:

$$n \equiv (\text{сумма цифр } n) \pmod 9$$

Так как $10 \equiv -1 \pmod{11}$, число сравнимо с чередующейся суммой цифр по модулю $11$:

$$n \equiv (\text{чередующаяся сумма цифр}) \pmod{11}$$

Последняя цифра числа $n$ равна $n \bmod 10$.

Предпоследняя цифра равна $\left\lfloor \frac{n}{10} \right\rfloor \bmod 10$.

4. Реальные задачи из ЕГЭ с разбором

Задача 1 (ЕГЭ-2018, прототип)

Задача 1

С трёхзначным числом $\overline{abc}$ производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Может ли в результате такой операции получиться число 201?

б) Может ли в результате такой операции получиться число 251?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?

Решение.

  1. Результат операции: $\dfrac{100a + 10b + c - (a+b+c)}{3} = \dfrac{99a + 9b}{3} = 33a + 3b$.
  2. Пункт а) Нужно $33a + 3b = 201$ → $11a + b = 67$. Подбираем: $a=6$, $b=1$ → $66+1=67$. Цифра $c$ любая. Например, $\overline{abc} = 610$. Проверка: $(610-7)/3 = 201$.
  3. Ответ на а): Да, может (например, 610).
  4. Пункт б) $33a + 3b = 251$ → $3(11a+b) = 251$. Левая часть делится на 3, а 251 не делится на 3. Противоречие.
  5. Ответ на б): Нет, не может.
  6. Пункт в) Результат не зависит от $c$. Нужно посчитать количество различных значений $33a+3b$ для $a,b$ — цифр ($a \ge 6$). $33a+3b = 3(11a+b)$. Для каждого $a$ от 6 до 9 $b$ от 0 до 9 даёт 10 значений. Всего $4 \cdot 10 = 40$.
  7. Ответ на в): 40.

Задача 2 (У бизнесмена Пети)

Задача 2

У бизнесмена Пети есть сейф с паролем — семизначное число, три первые цифры которого одинаковые, остальные четыре цифры также одинаковые. Сумма всех цифр этого пароля — число двузначное, первая цифра которого совпадает с первой цифрой пароля, а последняя — с последней. Найдите пароль.

Решение.

  1. Обозначим пароль как $\overline{xxx yyyy} = xxxxxx + yyyy$.
  2. Сумма цифр: $3x + 4y$.
  3. По условию это двузначное число $\overline{xy} = 10x + y$.
  4. Уравнение: $3x + 4y = 10x + y$ → $3y = 7x$.
  5. Так как $3$ и $7$ взаимно просты, $y$ должно делиться на $7$. Цифра $y$ может быть $0$ или $7$.
  6. Если $y=0$, то $x=0$, но тогда $\overline{xy}$ не двузначное. Не подходит.
  7. Если $y=7$, то $3 \cdot 7 = 7x$ → $x=3$.
  8. Пароль: $\overline{3337777}$.

Ответ: 3337777.

Задача 3 (ЕГЭ, прототип с переворотом)

Задача 3

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из второго числа вычли первое и получили 3546. Найдите исходное число.

Решение.

  1. Пусть исходное число $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$.
  2. Число кратно 5 → $d=0$ или $d=5$. Так как переворот тоже четырёхзначный, $d \neq 0$. Значит, $d=5$.
  3. Переворот: $\overline{dcba} = 1000d + 100c + 10b + a = 5000 + 100c + 10b + a$.
  4. Уравнение: $(5000 + 100c + 10b + a) - (1000a + 100b + 10c + 5) = 3546$.
  5. Упрощаем: $4995 + 90c - 90b - 999a = 3546$ → $90(c-b) - 999a = -1449$.
  6. Делим на 9: $10(c-b) - 111a = -161$ → $111a + 10(b-c) = 161$.
  7. $a$ — цифра. $a=1$: $111 + 10(b-c) = 161$ → $b-c=5$.
  8. $a \ge 2$: $222 > 161$ — не подходит.
  9. Возможные пары $(b,c)$: $(5,0), (6,1), (7,2), (8,3), (9,4)$.
  10. Ответ: любое из чисел: $1505$, $1615$, $1725$, $1835$, $1945$.

Ответ: 1505 (или 1615, 1725, 1835, 1945).

5. Типичные ошибки

Ошибка Как правильно
Забыть, что первая цифра не может быть нулём $a \neq 0$ в $\overline{abc}$
Неправильно записать переворот числа $\overline{abc}$ → $\overline{cba} = 100c + 10b + a$
Путать цифру и число Цифра $a$ — это символ от 0 до 9, число $10a+b$ — двузначное
Не проверять все условия Например, кратность 5 означает $d=0$ или $d=5$, но при $d=0$ переворот может быть трёхзначным
← 59. Диофантовы уравнения