← Маршрут ЕГЭ
Тема 61 из 72 · Теория чисел

Средние. Оценки. Неравенства в целых числах

Среднее арифметическое и геометрическое, оценка сверху и снизу

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 8 разделов
  1. 1. Неравенство о средних (AM–GM): что это и зачем
  2. 2. Почему AM–GM так важно для ЕГЭ
  3. Следствие 1: Максимум произведения при фиксированной сумме
  4. Следствие 2: Минимум суммы при фиксированном произведении
  5. Следствие 3: Сумма числа и обратного
  6. 3. Метод оценок («минимаксов»)
  7. 4. Реальный пример из ЕГЭ (задача №20)
  8. 5. Типичные ошибки

1. Неравенство о средних (AM–GM): что это и зачем

AM–GM — это сокращение от английских слов Arithmetic Mean (среднее арифметическое) и Geometric Mean (среднее геометрическое).

Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняется:

$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

Что это значит:

  • Среднее арифметическое ($\frac{a+b}{2}$) всегда не меньше среднего геометрического ($\sqrt{ab}$).
  • Равенство достигается только при $a = b$.
Пример

Для $a=4$, $b=9$:
$\frac{4+9}{2} = 6.5$ (среднее арифметическое)
$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ (среднее геометрическое)
$6.5 \ge 6$ — неравенство выполняется.

Пример (равенство)

Для $a=5$, $b=5$:
$\frac{5+5}{2} = 5$
$\sqrt{5 \cdot 5} = 5$
$5 = 5$ — равенство достигается.

2. Почему AM–GM так важно для ЕГЭ

В задачах №20 AM–GM используется для оценки выражений. Часто нужно найти максимум или минимум некоторой величины, и AM–GM даёт готовую оценку.

Три ключевых следствия:

Условие Что следует из AM–GM Когда использовать
Сумма $x+y=S$ фиксирована $xy \le \left(\frac{S}{2}\right)^2$ Нужно найти максимум произведения
Произведение $xy$ фиксировано $x+y \ge 2\sqrt{xy}$ Нужно найти минимум суммы
$x > 0$ $x + \frac{1}{x} \ge 2$ Оценка суммы числа и обратного

Следствие 1: Максимум произведения при фиксированной сумме

Утверждение: Если $x+y=S$ ($S$ — константа), то произведение $xy$ максимально, когда $x=y$.

$$xy \le \left(\frac{S}{2}\right)^2$$
Задача

Найдите наибольшее значение $xy$, если $x+y=10$.

  1. По AM–GM: $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
  2. Возводим в квадрат: $xy \le 25$.
  3. Равенство достигается при $x=y=5$.

Ответ: 25.

Следствие 2: Минимум суммы при фиксированном произведении

Утверждение: Если $xy = P$ ($P$ — константа), то сумма $x+y$ минимальна, когда $x=y$.

$$x+y \ge 2\sqrt{P}$$
Задача

Найдите наименьшее значение $x+y$, если $xy=16$, $x>0$, $y>0$.

  1. По AM–GM: $x+y \ge 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{16} = 8$.
  2. Равенство достигается при $x=y=4$.

Ответ: 8.

Следствие 3: Сумма числа и обратного

Утверждение: Для любого $x>0$ выполняется:

$$x + \frac{1}{x} \ge 2$$
Задача

Найдите наименьшее значение $x + \frac{1}{x}$ при $x>0$.

  1. По AM–GM: $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$.
  2. Равенство достигается при $x=1$.

Ответ: 2.

3. Метод оценок («минимаксов»)

Суть метода: если левая часть уравнения всегда $\ge A$, а правая всегда $\le A$, то равенство возможно только когда обе части равны $A$ одновременно.

Этот метод часто используется в задачах №20 для доказательства отсутствия решений или нахождения единственного решения.

Пример (с корнями)

Решите уравнение $\sqrt{x-1} + \sqrt{4-x} = \sqrt{3}$.

  1. Область определения: $x \in [1; 4]$.
  2. Оценим левую часть. По неравенству Коши–Буняковского:
    3. $$(\sqrt{x-1} + \sqrt{4-x})^2 \le (1+1)(x-1+4-x) = 2 \cdot 3 = 6$$
  3. Значит, $\sqrt{x-1} + \sqrt{4-x} \le \sqrt{6} \approx 2.45$.
  4. Но по условию левая часть равна $\sqrt{3} \approx 1.73$.
  5. Это возможно? Да, $\sqrt{3} \le \sqrt{6}$ — возможно.
  6. Найдём $x$: $\sqrt{x-1} + \sqrt{4-x} = \sqrt{3}$.
  7. Возводим в квадрат: $x-1 + 4-x + 2\sqrt{(x-1)(4-x)} = 3$.
  8. $3 + 2\sqrt{(x-1)(4-x)} = 3$ → $2\sqrt{(x-1)(4-x)} = 0$.
  9. $(x-1)(4-x) = 0$ → $x=1$ или $x=4$.
  10. Проверка: $x=1$: $\sqrt{0} + \sqrt{3} = \sqrt{3}$ ✅; $x=4$: $\sqrt{3} + \sqrt{0} = \sqrt{3}$ ✅.

Ответ: $x=1$, $x=4$.

4. Реальный пример из ЕГЭ (задача №20)

Задача из ЕГЭ

На доске написано 20 натуральных чисел, каждое не превосходит 40. Вместо некоторых чисел написали числа на 1 меньше. Числа, ставшие равными 0, стёрли.

а) Могло ли среднее арифметическое увеличиться?

б) Среднее арифметическое было 27. Могло ли среднее оставшихся стать 34?

в) Найдите наибольшее возможное среднее оставшихся чисел.

Решение.

  1. Пункт а) Да, могло. Пример: девятнадцать чисел равны $40$, одно число равно $1$ (среднее $=\frac{19\cdot40+1}{20}=38{,}05$). Уменьшаем число $1$ на единицу — оно становится $0$ и стирается. Остаются девятнадцать чисел по $40$, их среднее $=40$ — среднее выросло.
  2. Пункт б) Нет. Пусть всего уменьшили $d$ чисел, из них $x$ — это числа, которые были равны $1$ и после уменьшения стали $0$ (их стёрли). Тогда осталось $20-x$ чисел с суммой $540-d$ (стёртые нули не меняют сумму). Если среднее оставшихся стало $34$: $\dfrac{540-d}{20-x}=34 \Rightarrow d=34x-140$. Так как стёртые числа — часть уменьшенных, $d\ge x$: $34x-140\ge x \Rightarrow x\ge5$. Но уменьшить можно не более $20$ чисел, то есть $d\le20$: $34x-140\le20 \Rightarrow x\le4$. Получили $x\ge5$ и $x\le4$ одновременно — противоречие, значит среднее $34$ невозможно.
  3. Пункт в) Оценка:
    • Пусть $x$ — число единиц, превратившихся в нули. Тогда оставшихся чисел $20-x$.
    • Их сумма: $540 - x - y$, где $y$ — число других уменьшенных чисел.
    • Так как все числа $\le 40$, получаем: $540 \le x + 40(20-x)$ → $x \le 6$.
    • Максимальное среднее при $x=6$: $\frac{540-6}{14} = \frac{534}{14} = 38\frac{1}{7}$.
  4. Пункт в) Пример: возьмём числа: шесть единиц, число 14, остальные 13 чисел — 40. Сумма: $6 \cdot 1 + 14 + 13 \cdot 40 = 6 + 14 + 520 = 540$. После уменьшения: шесть единиц становятся нулями и стираются, остаётся 14 чисел. Сумма: $540 - 6 = 534$. Среднее: $\frac{534}{14} = 38\frac{1}{7}$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $38\frac{1}{7}$.

5. Типичные ошибки

Ошибка Как правильно
Применять AM–GM к отрицательным числам AM–GM работает только для неотрицательных чисел!
Забыть условие равенства Равенство в AM–GM достигается только при $a=b$.
Не проверить достижимость оценки После нахождения оценки обязательно покажите пример, где она достигается.
Путать максимум и минимум При фиксированной сумме — максимум произведения; при фиксированном произведении — минимум суммы.
← 60. Десятичная запись числа. Цифры