Марафон первой части №1–5

Марафон первой части: задания 1–5

Быстрый повтор перед пробником: формулы и типичные ловушки для заданий №1–5 профильного ЕГЭ. Эти задания — самые простые, но именно здесь чаще всего теряют баллы из-за невнимательности.

Задание 1 — планиметрия

Что проверяется: прямоугольные, равнобедренные, произвольные треугольники; параллелограммы; трапеции; окружности (центральные и вписанные углы, касательные, хорды, секущие; вписанные и описанные окружности).

Ключевые формулы:

• Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ (для прямоугольного треугольника).
• Сумма углов треугольника: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
• Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2} a h = \dfrac{1}{2} ab \sin C$.
• Площадь параллелограмма: $S = a h$.
• Площадь трапеции: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$.
• Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

Задание 2 — векторы

Что проверяется: координаты вектора, длина вектора, скалярное произведение, угол между векторами, операции с векторами.

Ключевые формулы:

• Координаты вектора: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
• Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
• Угол между векторами: $\cos \varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
• Условие перпендикулярности: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Задание 3 — стереометрия

Что проверяется: объёмы и площади поверхностей куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара; составные многогранники; комбинации тел.

Ключевые формулы:

• Куб: $V = a^3$, $S_{\text{пов}} = 6a^2$.
• Прямоугольный параллелепипед: $V = abc$, $S_{\text{пов}} = 2(ab+bc+ac)$.
• Призма: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.
• Пирамида: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$.
• Цилиндр: $V = \pi R^2 h$, $S_{\text{бок}} = 2\pi Rh$.
• Конус: $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$, $S_{\text{бок}} = \pi R l$.
• Шар: $V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$, $S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$.
• При изменении линейных размеров в $k$ раз: объём меняется в $k^3$ раз, площадь — в $k^2$ раз.

Задание 4 — теория вероятностей (базовая)

Что проверяется: классическое определение вероятности.

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов.

Важные факты:

• Противоположное событие: $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
• Несовместные события: $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)$.
• Независимые события: $P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)$.

Задание 5 — теория вероятностей (повышенный уровень)

Что проверяется: вычисление вероятности с использованием графических методов (дерево вероятностей); формулы сложения и умножения вероятностей; формула полной вероятности; комбинаторные факты и формулы.

Ключевые формулы:

• Сложение вероятностей (несовместные события): $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)$.
• Сложение для совместных событий: $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ и } B)$.
• Умножение (независимые события): $P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Формула полной вероятности: $P(A) = \sum_i P(H_i)\cdot P(A\mid H_i)$.
• Число сочетаний: $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.