← Маршрут ЕГЭ
Тема 66 из 72 · Повторение и итоги

Марафон первой части №6–9

Справочник и разбор заданий №6–9, тренировка на скорость

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон первой части: задания 6–9

Формулы и алгоритмы для заданий №6 (математическая статистика), №7 (уравнения, неравенства и системы), №8 (вычисления и преобразования), №9 (производная, наибольшее и наименьшее значение).

Задание 6 — математическая статистика

Что проверяется: работа со случайной величиной — таблица распределения, математическое ожидание, дисперсия, мода и медиана выборки; оценка вероятности отклонения от среднего по неравенству Чебышева.

Ключевые формулы:

$$M(X) = \sum_i x_i p_i,\qquad D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2$$
$$\text{Схема Бернулли: } M(X) = np,\qquad D(X) = np(1-p)$$
$$\text{Неравенство Чебышева: } P\big(|X - M(X)| \ge \varepsilon\big) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$$

Полный разбор с примерами — в теме «Математическая статистика» маршрута.

Ловушка

Сумма всех вероятностей в таблице распределения всегда равна 1 — если одна вероятность не дана явно, её находят из этого условия.

Задание 7 — уравнения, неравенства и системы

Что проверяется: умение решать уравнения, неравенства и их системы различными приёмами (подстановка, замена переменной, разложение на множители, метод интервалов и др.).

Ключевая идея: любое равносильное преобразование должно сохранять ОДЗ. Основные виды уравнений (линейные, квадратные, показательные, логарифмические, иррациональные, тригонометрические) подробно разобраны в соответствующих темах маршрута — здесь важно быстро узнать тип уравнения и выбрать метод.

Ловушка

Проверяйте ОДЗ и не забывайте про посторонние корни при возведении в квадрат, потенцировании логарифмов и делении на выражение с переменной.

Задание 8 — вычисления и преобразования

Что проверяется: преобразования числовых и алгебраических выражений; действия со степенями; преобразования иррациональных, логарифмических, тригонометрических выражений.

Свойства степеней:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n},\qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\qquad (a^m)^n = a^{mn}$$
$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n},\qquad a^0 = 1,\qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

Свойства корней:

$$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b},\qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\qquad \sqrt{a^2} = |a|$$

Свойства логарифмов:

$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\qquad \log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$
$$\log_a x^n = n \log_a x,\qquad \log_a a = 1,\qquad \log_a 1 = 0$$
$$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a},\qquad a^{\log_a b} = b$$

Основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Формулы сокращённого умножения:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b),\qquad a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$
Ловушка

$\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$! Например, $\sqrt{(-3)^2} = 3$.

Задание 9 — производная, наибольшее и наименьшее значение

Что проверяется: физический и геометрический смысл производной, касательная; применение производной к исследованию функций; первообразная; нахождение наибольшего/наименьшего значения функции.

Таблица производных (основные):

$$(x^n)' = nx^{n-1},\qquad (\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x$$
$$(e^x)' = e^x,\qquad (a^x)' = a^x \ln a,\qquad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}$$
$$(\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x},\qquad (\operatorname{ctg} x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$$

Правила дифференцирования:

$$(f \pm g)' = f' \pm g',\qquad (fg)' = f'g + fg',\qquad \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$$
$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Геометрический смысл производной: $f'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha = k$ — угловой коэффициент касательной.

Уравнение касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$

Таблица первообразных (основные):

$$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad \int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C$$
$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C,\qquad \int \cos x \, dx = \sin x + C$$
$$\int e^x dx = e^x + C$$

Связь производной с поведением функции:

  • $f'(x) > 0$ → функция возрастает.
  • $f'(x) < 0$ → функция убывает.
  • $f'(x_0) = 0$ и смена знака → экстремум.
Ловушка

Если дан график $f'(x)$, то точки максимума $f$ — там, где $f'$ меняет знак с «+» на «−» (а не наоборот). Точки минимума — где с «−» на «+».

Алгоритм нахождения наибольшего/наименьшего значения на отрезке:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти производную $f'(x)$.
  3. Найти критические точки: $f'(x) = 0$ или не существует.
  4. Отобрать критические точки, принадлежащие отрезку.
  5. Вычислить значения $f$ в критических точках и на концах отрезка.
  6. Сравнить значения — выбрать наибольшее и наименьшее.
Классика

Для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ вершина $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ даёт минимум (при $a>0$) или максимум (при $a<0$).

На подходе: прикладные и текстовые задачи (задания 10–11)

Что проверяется: составление и решение уравнения по условию текстовой задачи (движение, работа, проценты, смеси), подстановка данных в готовую формулу. Подробный разбор — в следующем марафоне (задания 10–12).

Ключевые формулы:

  • Движение: $S = v \cdot t$.
  • Работа: $A = p \cdot t$, производительность $p = \dfrac{1}{t}$.
  • Совместная работа: $\dfrac{1}{t_{\text{вместе}}} = \dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2}$.
  • Проценты: $a\%$ от $b$ равно $\dfrac{a}{100} \cdot b$.
  • Смеси: $m_1 c_1 + m_2 c_2 = (m_1 + m_2) c_3$.

Алгоритм решения текстовой задачи:

  1. Выделить неизвестную величину и обозначить её через $x$.
  2. Выразить через $x$ все остальные величины.
  3. Составить уравнение по условию.
  4. Решить уравнение.
  5. Проверить ответ на соответствие смыслу задачи.
Ловушка

В задачах на движение по воде: скорость по течению $= v + u$, против течения $= v - u$. Не путайте!

← 65. Марафон первой части №1–5