Марафон первой части №10–12

Марафон первой части: задания 10–12

Формулы для заданий №10 (задачи с прикладным содержанием), №11 (текстовые задачи), №12 (графики функций).

Задание 10 — задачи с прикладным содержанием

Что проверяется: подстановка данных в готовую формулу из физики, экономики, химии и других наук. Главное — аккуратно подставить числа и перевести единицы измерения.

Типичные формулы (могут быть даны в условии):

• Физика: $S = vt$, $A = Pt$, $F = ma$, $P = \rho g h$.
• Электричество: $U = IR$, $P = UI$.
• Теплота: $Q = cm\Delta T$.
• Экономика: проценты, вклады, кредиты.

Алгоритм решения:

1. Выписать формулу из условия.
2. Подставить все известные значения.
3. Аккуратно выполнить вычисления.
4. Проверить единицы измерения.

Задание 11 — текстовые задачи

Что проверяется: задачи на проценты, сплавы и смеси; движение по прямой, по окружности, по воде; совместную работу; прогрессии.

Ключевые формулы:

• Движение: $S = v \cdot t$.
• Движение по воде: $v_{\text{по теч}} = v + u$, $v_{\text{против теч}} = v - u$.
• Работа: $A = p \cdot t$, производительность $p = \dfrac{1}{t}$.
• Совместная работа: $\dfrac{1}{t_{\text{вместе}}} = \dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2}$.
• Проценты: $a\%$ от $b$ равно $\dfrac{a}{100} \cdot b$.
• Смеси: $m_1 c_1 + m_2 c_2 = (m_1 + m_2) c_3$.
• Прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$ (АП), $b_n = b_1 q^{n-1}$ (ГП).

Алгоритм решения текстовой задачи:

1. Прочитайте условие и выделите величины.
2. Обозначьте неизвестную величину через $x$.
3. Составьте таблицу (скорость|время|расстояние или производительность|время|работа).
4. Составьте уравнение по условию.
5. Решите уравнение.
6. Проверьте ответ на соответствие смыслу задачи.

Задание 12 — графики функций

Что проверяется: линейные функции, параболы, гиперболы, корни, показательные и логарифмические функции, тригонометрические функции, комбинированные задачи.

Как определить функцию по графику:

• Прямая: $y = kx + b$.
• Парабола: $y = ax^2 + bx + c$.
• Гипербола: $y = \dfrac{k}{x}$.
• Корень: $y = \sqrt{x}$.
• Показательная: $y = a^x$.
• Логарифмическая: $y = \log_a x$.
• Тригонометрическая: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$.

Ключевые точки для определения:

• Прямая: $k$ (наклон) и $b$ (точка пересечения с $Oy$).
• Парабола: направление ветвей ($a>0$ или $a<0$), вершина $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, пересечение с $Oy$ ($c$).
• Гипербола: знак $k$ (четверти расположения).
• Показательная: проходит через $(0;1)$, асимптота $y=0$.
• Логарифмическая: проходит через $(1;0)$, асимптота $x=0$.