Тема 68 из 72 · Повторение и итоги

Повторение №14 тригонометрические уравнения

Повторение: тригонометрические уравнения с отбором корней

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Повторение: задание 14 — тригонометрические уравнения

Полный свод формул решения и алгоритм отбора корней перед разбором задания №14. Это задание второй части, оценивается в 2 балла.

1. Формулы простейших уравнений

Уравнение $\sin x = a$ ($|a| \le 1$):

$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Уравнение $\cos x = a$ ($|a| \le 1$):

$$x = \pm \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Уравнение $\operatorname{tg} x = a$:

$$x = \operatorname{arctg} a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Уравнение $\operatorname{ctg} x = a$:

$$x = \operatorname{arcctg} a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Частные случаи (решаются по окружности, а не по формуле):

Уравнение	Решение
$\sin x = 0$	$x = \pi n$
$\sin x = 1$	$x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$
$\sin x = -1$	$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$
$\cos x = 0$	$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$
$\cos x = 1$	$x = 2\pi n$
$\cos x = -1$	$x = \pi + 2\pi n$

2. Однородные тригонометрические уравнения

Однородное первой степени: $a\sin x + b\cos x = 0$.

Делим на $\cos x$ (при $\cos x \ne 0$):

$$\operatorname{tg} x = -\dfrac{b}{a} \;\Rightarrow\; x = \operatorname{arctg}\left(-\dfrac{b}{a}\right) + \pi n$$

Проверка: если $\cos x = 0$ (т.е. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$), подставляем в исходное: $a \cdot (\pm1) + b \cdot 0 = 0$ → подходит только при $a = 0$.

Однородное второй степени:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$$

Делим на $\cos^2 x$ (проверив, что $\cos x = 0$ не является решением):

$$a\operatorname{tg}^2 x + b\operatorname{tg} x + c = 0$$

Замена $t = \operatorname{tg} x$ → квадратное уравнение.

Важно

При делении на $\cos^2 x$ обязательно проверьте случай $\cos x = 0$ отдельно! Подставьте $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ в исходное уравнение.

3. Метод разложения на множители

Если уравнение можно привести к виду $f(x) \cdot g(x) = 0$, то:

Решаем $f(x) = 0$.
Решаем $g(x) = 0$.
Объединяем множества корней.

Пример

$\sin x + \sin 3x = 0$.

По формуле суммы синусов: $\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x = 0$.
$\sin 2x = 0$ → $2x = \pi n$ → $x = \dfrac{\pi n}{2}$.
$\cos x = 0$ → $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$.
Объединяем: $x = \dfrac{\pi n}{2}$ (второе множество входит в первое).

4. Формулы для упрощения

Формулы двойного угла:

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$

Формулы суммы/разности:

$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$

$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$

5. Универсальная тригонометрическая подстановка

При $t = \operatorname{tg}\dfrac{x}{2}$:

$$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \operatorname{tg} x = \dfrac{2t}{1-t^2}$$

Важно

Точки $x = \pi + 2\pi n$ выпадают из ОДЗ подстановки ($\cos\dfrac{x}{2} = 0$). Проверяйте их отдельно!

6. Отбор корней на отрезке

Алгоритм отбора корней (часть б):

Получить общее решение через параметр $n$ (из пункта а).
Изобразить единичную окружность или числовую прямую, отметить нужный промежуток.
Подставлять целые значения $n$ и проверять попадание в заданный отрезок.
Можно решать двойное неравенство относительно $n$: $A \le \text{выражение} + \pi n \le B$.
Не забыть про ОДЗ исходного уравнения (знаменатели, $\operatorname{tg}$, $\operatorname{ctg}$).

Пример

Отобрать корни уравнения $\sin x = \dfrac{1}{2}$ на отрезке $\left[0; \dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Общее решение: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
Подставляем $n$:

$n = 0$: $x = \dfrac{\pi}{6}$ (подходит), $x = \dfrac{5\pi}{6}$ (подходит).
$n = 1$: $x = \dfrac{13\pi}{6} > \dfrac{3\pi}{2}$ (не подходит).
$n = -1$: $x = -\dfrac{11\pi}{6} < 0$ (не подходит).

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$.

← 67. Марафон первой части №10–12 69. Повторение №15 + №16 стереометрия и нер… →