← Маршрут ЕГЭ
Тема 69 из 72 · Повторение и итоги

Повторение №15 + №16 стереометрия и неравенства

Повторение: стереометрия и неравенства — комбинированные задачи

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Повторение: задание 15 (стереометрия) + задание 16 (неравенства)

Ключевые теоремы стереометрии и алгоритмы решения неравенств методом интервалов.

Задание 15 — стереометрия

Что проверяется: угол между плоскостями; угол между прямой и плоскостью; угол между скрещивающимися прямыми; расстояние от точки до плоскости; расстояние между скрещивающимися прямыми; объёмы многогранников; сечения пирамид и призм; комбинации фигур.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая теорема: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

$$\text{Если } AH \perp \alpha,\ HK \perp l,\ l \subset \alpha \;\Rightarrow\; AK \perp l$$
Важно

Теорема о трёх перпендикулярах — ключевой инструмент для построения линейного угла двугранного угла без координат.

Построение сечений (метод следов)

  1. Найти след секущей плоскости на плоскости одной из граней (используя точки, лежащие в одной грани).
  2. Продлевать прямые пересечения плоскостей до выхода на соседние грани.
  3. Последовательно соединять точки на рёбрах, пока сечение не замкнётся в многоугольник.

Важные правила построения сечений:

  • Если две точки сечения лежат в одной грани, прямая через них — след в этой грани.
  • Если секущая плоскость пересекает параллельные грани, линии пересечения параллельны.
  • Сечение, параллельное основанию пирамиды, подобно основанию с коэффициентом $k = \dfrac{h'}{H}$.

Формулы объёмов и площадей поверхности

Объёмы:

$$V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot h,\qquad V_{\text{пирамиды}} = \dfrac13 S_{\text{осн}} \cdot h$$
$$V_{\text{цилиндра}} = \pi R^2 h,\qquad V_{\text{конуса}} = \dfrac13 \pi R^2 h,\qquad V_{\text{шара}} = \dfrac43 \pi R^3$$

Площади поверхностей:

$$S_{\text{бок.цил}} = 2\pi R h,\qquad S_{\text{полн.цил}} = 2\pi R(R+h)$$
$$S_{\text{бок.кон}} = \pi R l,\qquad S_{\text{полн.кон}} = \pi R(R+l)$$
$$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$$

Отношение при изменении размеров: при изменении линейных размеров в $k$ раз площадь меняется в $k^2$ раз, объём — в $k^3$ раз.

Углы в пространстве

  • Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость.
  • Угол между плоскостями — линейный угол двугранного угла (строится перпендикулярами к ребру в каждой из граней).
  • Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.

Метод координат в стереометрии

Алгоритм:

  1. Ввести систему координат (начало — удобная вершина, оси — вдоль рёбер).
  2. Записать координаты всех нужных точек.
  3. Найти координаты векторов.
  4. Применить формулы:
$$\cos\varphi = \dfrac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \quad \text{(угол между прямыми)}$$
$$\sin\varphi = \dfrac{|\vec s \cdot \vec n|}{|\vec s| \cdot |\vec n|} \quad \text{(угол прямой с плоскостью)}$$
$$\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|} \quad \text{(угол между плоскостями)}$$
$$\rho = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \quad \text{(расстояние от точки до плоскости)}$$
Ловушка

При координатном методе главная ошибка — неверно найденные координаты вершин. Всегда проверяйте длины полученных векторов.

Задание 16 — неравенства

Что проверяется: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические неравенства; системы неравенств.

Метод интервалов

  1. Перенести всё в одну сторону, привести к виду $f(x) \vee 0$.
  2. Разложить на множители (числитель и знаменатель).
  3. Найти нули числителя и знаменателя.
  4. Отметить на числовой оси (нули знаменателя — всегда выколотые).
  5. Определить знак на каждом промежутке (при простых корнях знак чередуется, при чётной кратности — нет).
  6. Выбрать нужные промежутки с учётом ОДЗ.

Логарифмические неравенства

ОДЗ: аргумент $>0$, основание $>0$, основание $\ne 1$.

$$\log_a f(x) \vee \log_a g(x):\quad \begin{cases} a>1: f(x) \vee g(x) \\ 0

Показательные неравенства

$$a^{f(x)} \vee a^{g(x)}:\quad \begin{cases} a>1: f(x) \vee g(x) \\ 0

Неравенства с модулем

$$|f(x)| < g(x) \iff -g(x) < f(x) < g(x)$$
$$|f(x)| > g(x) \iff f(x) > g(x) \ \text{или} \ f(x) < -g(x)$$

Иррациональные неравенства

  • $\sqrt{f(x)} > g(x)$: если $g(x) < 0$ → всё ОДЗ подходит; если $g(x) \ge 0$ → $f(x) > g^2(x)$.
  • $\sqrt{f(x)} < g(x)$: нужно $g(x) > 0$ и $f(x) < g^2(x)$.
  • $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$: $f(x) > g(x)$ (с ОДЗ).
Важно

Замену переменной ($t = \log_2 x$ или $t = 2^x$) делать только после определения ОДЗ по исходной переменной. Возврат к $x$ — обязателен!

← 68. Повторение №14 тригонометрические уравн…