Тема 70 из 72 · Повторение и итоги

Повторение №13 + №18 финансы и планиметрия

Повторение: финансовая математика и сложная планиметрия

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Повторение: задание 13 (финансовая математика) + задание 18 (планиметрия)

Формулы вкладов/кредитов и опорные факты планиметрии для сложных геометрических задач. С 2027 года задание №13 — в первой части (1 балл, короткий числовой ответ, без записи решения); задание №18 остаётся во второй части (3 балла, полное решение с обоснованием).

Задание 13 — финансовая математика

Что проверяется: задачи на кредиты с аннуитетными и дифференцированными платежами; задачи на вклады с простыми и сложными процентами; задачи на оптимальный выбор.

Важно

В новой структуре ЕГЭ задание №13 — часть первая: в ответ пишут только число (без решения). Но промежуточные вычисления всё равно нужны — методы решения не изменились.

Два типа платежей по кредиту

Тип	Признак в условии	Суть
Аннуитетный	«равными платежами», «одинаковыми суммами каждый месяц/год»	Платёж одинаковый каждый период
Дифференцированный	«долг уменьшается на одну и ту же сумму», «равными долями»	Тело кредита гасится равными частями, платежи уменьшаются

Аннуитетный платёж

Суть: каждый период вы платите одинаковую сумму. Сначала в платеже больше процентов, потом — больше основного долга.

Коэффициент роста: $k = 1 + \dfrac{r}{100}$, где $r$ — процентная ставка.

Формула аннуитетного платежа:

$$x = \frac{S \cdot k^n \cdot (k-1)}{k^n - 1}$$

где $S$ — сумма кредита, $k = 1 + \frac{r}{100}$, $n$ — количество периодов.

Схема расчёта долга (рекуррентная):

$$S_1 = kS - x$$

$$S_2 = kS_1 - x = k^2S - kx - x$$

$$S_n = k^nS - x(k^{n-1} + k^{n-2} + \ldots + 1) = 0$$

Пример (Аннуитет)

Клиент взял 2,1 млн рублей под 10% годовых на 2 года равными ежегодными платежами. Найдите ежегодный платёж.

$k = 1.1$, $n = 2$, $S = 2.1$ млн.
Долг после 2-го года: $1.1^2 \cdot 2.1 - x(1.1 + 1) = 0$.
$1.21 \cdot 2.1 = x \cdot 2.1$ → $x = 1.21$ млн.

Ответ: 1 210 000 рублей.

Дифференцированный платёж

Суть: тело кредита гасится равными частями ($\frac{S}{n}$), а проценты начисляются на оставшийся долг. Платежи уменьшаются каждый период.

Формула для выплаты в $i$-й период:

$$x_i = \frac{S}{n} + \frac{r}{100} \cdot \frac{n - i + 1}{n} \cdot S$$

Формула общей переплаты:

$$\text{Переплата} = \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$$

Пример (Дифференцированный)

Кредит 600 000 рублей под 3% в месяц на 3 месяца. Найдите платежи и переплату.

Тело кредита: $\frac{600000}{3} = 200000$ руб./мес.
1-й месяц: $200000 + 0.03 \cdot 600000 = 200000 + 18000 = 218000$.
2-й месяц: $200000 + 0.03 \cdot 400000 = 200000 + 12000 = 212000$.
3-й месяц: $200000 + 0.03 \cdot 200000 = 200000 + 6000 = 206000$.
Переплата: $0.03 \cdot 600000 \cdot \frac{3+1}{2} = 18000 \cdot 2 = 36000$.

Ответ: 218 000, 212 000, 206 000 руб.; переплата 36 000 руб.

Банковский вклад

Вклад без пополнений:

$$S_{\text{итог}} = S_0 \cdot k^n$$

Вклад с ежегодным пополнением:

$$S_n = k^n S_0 + A(k^{n-1} + k^{n-2} + \ldots + 1)$$

где $A$ — сумма ежегодного пополнения.

Вклад со снятиями:

$$S_i = k \cdot S_{i-1} - A$$

Сравнение типов платежей

Характеристика	Аннуитетный	Дифференцированный
Платежи	Одинаковые	Уменьшаются
Переплата	Больше	Меньше
Формула платежа	$x = \dfrac{S \cdot k^n \cdot (k-1)}{k^n - 1}$	$x_i = \dfrac{S}{n} + \dfrac{r}{100} \cdot \dfrac{n-i+1}{n} \cdot S$

Задание 18 — планиметрия (сложная)

Что проверяется: треугольники и их свойства (84 шт.); четырёхугольники и их свойства (87 шт.); окружности и системы окружностей (53 шт.); вписанные и описанные окружности с треугольниками (76 шт.); вписанные и описанные окружности с четырёхугольниками (61 шт.).

Вписанная и описанная окружности

$$r = \dfrac{S}{p} \quad \text{(вписанная)},\qquad R = \dfrac{abc}{4S} \quad \text{(описанная)},\qquad p = \dfrac{a+b+c}{2}$$

Теорема синусов:

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$$

Теорема косинусов:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Подобие треугольников

Признаки подобия:

По двум углам (УУ) — самый частый признак.
По двум сторонам и углу между ними (СУС).
По трём сторонам (ССС).

$$\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$$

Свойства четырёхугольников

Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов $= 180^\circ$.
Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны: $a + c = b + d$.
Средняя линия трапеции: $m = \dfrac{a+b}{2}$, параллельна основаниям.
Параллелограмм: диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Ромб: диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Прямоугольник: диагонали равны.

Полезные вспомогательные построения

Провести высоту из вершины на сторону (или её продолжение).
Провести диагональ, разбивающую фигуру на треугольники с известными элементами.
Достроить фигуру до параллелограмма или использовать симметрию.
Искать вписанные углы, опирающиеся на одну дугу — они равны.
В задачах с касательными — провести радиус в точку касания (он перпендикулярен касательной).

Стратегия решения задания 17

Пункт а) — доказательство:
- Найти вписанные углы, опирающиеся на одну дугу → равенство углов.
- Из равенства углов → подобие треугольников.
- Из подобия → пропорциональность сторон.
- Из пропорциональности → нужный вывод.
Пункт б) — вычисление:
- Использовать доказанное в пункте а).
- Применить теоремы Пифагора, косинусов, синусов.
- Найти площадь через формулу Герона или $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$.

Ловушка

В задачах на окружности не забывать: угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними — это часто ключ к решению пункта а).

← 69. Повторение №15 + №16 стереометрия и нер… 71. Стратегия экзамена. Распределение време… →