← Маршрут ЕГЭ
Тема 7 из 72 · Алгебра

Уравнения n-й степени. Рациональные уравнения

Разложение на множители, схема Горнера, деление многочленов; ОДЗ и общий знаменатель

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 19 разделов
  1. Уравнения n-й степени
  2. Простой вид 1: $x^n = a$
  3. Простой вид 2: работает формула сокращённого умножения
  4. Простой вид 3: общий множитель и группировка
  5. Простой вид 4: замена переменной
  6. Когда простые приёмы не сработали
  7. Шаг 1. Где искать корень
  8. Шаг 2. Деление многочлена на многочлен
  9. Шаг 3. Схема Горнера — то же деление, но быстрее
  10. Алгоритм для уравнения любой степени
  11. Когда корней нет или их меньше, чем степень
  12. Рациональные уравнения
  13. ОДЗ — нулевой шаг
  14. Общий знаменатель: как его находят и почему именно так
  15. Вид 1. Дробь равна нулю
  16. Вид 2. Дробь равна числу или выражению
  17. Вид 3. Сумма или разность дробей
  18. Вид 4. Знаменатель раскладывается на множители
  19. Вид 5. Сводится к квадратному заменой

Уравнения n-й степени

Уравнение $n$-й степени — это $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0$, где старшая степень переменной равна $n$.

Для второй степени есть готовая формула с дискриминантом. Начиная с третьей универсальной формулы, пригодной для экзамена, нет. Поэтому работают иначе: уравнение раскладывают на множители и сводят к набору уравнений меньшей степени. Произведение равно нулю тогда, когда нулю равен хотя бы один множитель — на этом всё и держится.

Сначала всегда проверяют, не относится ли уравнение к простым видам: там множители видно сразу и никакие деления не нужны.

Простой вид 1: $x^n = a$

Тут достаточно извлечь корень, а сколько будет решений — решает чётность степени.

  1. $n$ нечётное — ровно один корень $x = \sqrt[n]{a}$ при любом $a$. Например, $x^3 = -27$ даёт $x = -3$.
  2. $n$ чётное, $a > 0$ — два корня $x = \pm\sqrt[n]{a}$. Например, $x^4 = 16$ даёт $x = \pm 2$.
  3. $n$ чётное, $a = 0$ — один корень $x = 0$.
  4. $n$ чётное, $a < 0$ — корней нет: чётная степень не бывает отрицательной.

Иногда нужное число видно сразу: в уравнении $x^5 = 32$ достаточно вспомнить, что $2^5 = 32$, и корень найден без всяких вычислений.

Простой вид 2: работает формула сокращённого умножения

Если левая часть — это свёрнутая ФСУ, множители появляются мгновенно:

$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2), \qquad a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), \qquad (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$$
Пример

Решить $x^3 - 8 = 0$.

  1. Это разность кубов: $x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.
  2. Первый множитель: $x - 2 = 0$, значит $x = 2$.
  3. Второй: $x^2 + 2x + 4 = 0$, здесь $D = 4 - 16 = -12 < 0$ — корней нет.

Ответ: $x = 2$

Обратите внимание: у кубического уравнения оказался всего один корень — второй множитель не дал ни одного.

Простой вид 3: общий множитель и группировка

Если у всех слагаемых есть общий множитель, его выносят за скобку. Если общего для всех нет, слагаемые группируют по парам.

Пример

Решить $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$.

  1. Группируем: $\left(x^3 + 2x^2\right) - \left(9x + 18\right) = 0$.
  2. Выносим из каждой скобки: $x^2(x+2) - 9(x+2) = 0$.
  3. Появился общий множитель $(x+2)$: $(x+2)\left(x^2-9\right) = 0$.
  4. Второй множитель — разность квадратов: $(x+2)(x-3)(x+3) = 0$.
  5. Приравниваем каждый множитель к нулю.

Ответ: $x = -2$; $x = 3$; $x = -3$

Простой вид 4: замена переменной

Если в уравнении встречаются только чётные степени, помогает замена $t = x^2$ (такие уравнения называют биквадратными).

Пример

Решить $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

  1. Замена $t = x^2$, причём $t \ge 0$. Уравнение принимает вид $t^2 - 5t + 4 = 0$.
  2. По Виету $t_1 = 1$, $t_2 = 4$ — оба подходят под условие $t \ge 0$.
  3. Возвращаемся: $x^2 = 1$ даёт $x = \pm 1$; $x^2 = 4$ даёт $x = \pm 2$.

Ответ: $x = \pm 1$; $x = \pm 2$

Если бы получилось $t = -3$, этот корень пришлось бы отбросить: $x^2$ отрицательным не бывает.

Когда простые приёмы не сработали

Остаётся общий путь: найти один корень подбором, вынести соответствующий множитель делением и понизить степень уравнения.

Шаг 1. Где искать корень

Целый корень многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $1$ всегда является делителем свободного члена $a_0$.

Причина простая. Если $x_0$ — корень, то $x_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + \ldots + a_1x_0 = -a_0$. Слева каждое слагаемое делится на $x_0$, значит и справа $a_0$ делится на $x_0$.

Поэтому для уравнения со свободным членом $-6$ кандидатов немного: $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm6$. Их и подставляют по очереди, начиная с $\pm1$.

Шаг 2. Деление многочлена на многочлен

Пусть корень $x_0$ найден. Тогда многочлен делится нацело на $(x - x_0)$ — то есть без остатка: результатом деления снова будет многочлен, но степенью на единицу ниже.

Делят «уголком», так же как обычные числа: смотрят только на старшие члены.

Пример

Разделить $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ на $(x - 1)$.

  1. Делим старший член делимого на старший член делителя: $x^3 : x = x^2$. Это первый член ответа.
  2. Умножаем: $x^2(x-1) = x^3 - x^2$. Вычитаем из делимого: $\left(x^3 - 6x^2\right) - \left(x^3 - x^2\right) = -5x^2$.
  3. Сносим следующий член, получаем $-5x^2 + 11x$. Делим: $-5x^2 : x = -5x$.
  4. Умножаем: $-5x(x-1) = -5x^2 + 5x$. Вычитаем: $\left(-5x^2+11x\right) - \left(-5x^2+5x\right) = 6x$.
  5. Сносим $-6$, получаем $6x - 6$. Делим: $6x : x = 6$.
  6. Умножаем: $6(x-1) = 6x - 6$. Вычитаем: остаток $0$ — разделилось нацело.

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)\left(x^2 - 5x + 6\right)$

Шаг 3. Схема Горнера — то же деление, но быстрее

Когда делят именно на двучлен $(x - x_0)$, всю выкладку можно свернуть в одну строчку таблицы. Схема Горнера работает только с коэффициентами.

  1. Выписать коэффициенты многочлена по убыванию степеней. Пропущенные степени записать нулями.
  2. Снести первый коэффициент вниз без изменений.
  3. Умножить снесённое число на $x_0$ и прибавить к следующему коэффициенту. Результат записать вниз.
  4. Повторять до конца строки.
  5. Последнее число — остаток. Если он равен нулю, $x_0$ действительно корень, а остальные числа нижней строки — коэффициенты частного.
Пример

Решить $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$.

Свободный член $-6$, пробуем $x_0 = 1$: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ — корень найден. Делим по схеме Горнера:

Коэффициенты 1 −6 11 −6
$x_0 = 1$ 1 −5 6 0
  1. Сносим $1$.
  2. $1 \cdot 1 = 1$, прибавляем к $-6$: получаем $-5$.
  3. $-5 \cdot 1 = -5$, прибавляем к $11$: получаем $6$.
  4. $6 \cdot 1 = 6$, прибавляем к $-6$: получаем $0$ — остаток нулевой.

Нижняя строка без последнего числа — это коэффициенты частного $x^2 - 5x + 6$. Значит:

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)\left(x^2-5x+6\right) = 0$$

Осталось решить квадратное: $x^2 - 5x + 6 = 0$, по Виету $x = 2$ и $x = 3$.

Ответ: $x = 1$; $x = 2$; $x = 3$

Важно запомнить!

В схеме Горнера пишут $x_0$ с тем знаком, который даёт корень, а не тот, что стоит в скобке. При делении на $(x+2)$ корень равен $-2$, и в таблицу идёт именно $-2$.

Алгоритм для уравнения любой степени

  1. Проверить простые виды: ФСУ, общий множитель, группировка, замена. Если сработало — дальше не нужно.
  2. Выписать делители свободного члена и подбором найти корень $x_0$.
  3. Разделить многочлен на $(x - x_0)$ — уголком или по схеме Горнера. Степень понизится на единицу.
  4. Если частное всё ещё выше второй степени, повторить шаги 2–3 уже для него.
  5. Дойдя до квадратного трёхчлена, решить его через дискриминант или по Виету.
  6. Собрать все корни вместе.

Когда корней нет или их меньше, чем степень

Степень уравнения — это наибольшее возможное число корней, а не гарантированное. Реально их бывает меньше, а иногда нет вовсе:

  1. Квадратный множитель с $D < 0$ не даёт корней: так было выше у $x^2+2x+4$.
  2. Чётная степень равна отрицательному числу — решений нет: $x^4 = -1$, $x^2 + 1 = 0$.
  3. Корни могут совпасть. У $(x-1)^3 = 0$ степень третья, а корень один: $x = 1$.
  4. Уравнение нечётной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень — но он может оказаться иррациональным, и подбор его не найдёт.

Рациональные уравнения

Слово «рациональный» идёт от латинского ratio — отношение. Рациональное выражение — это то, что получается из чисел и переменной четырьмя действиями: сложением, вычитанием, умножением и делением. Обычная дробь и есть отношение двух многочленов.

Если переменная стоит только в числителях, уравнение называют целым рациональным. Если переменная есть и в знаменателе — дробно-рациональным, и именно в нём появляется главная забота: на нуль делить нельзя.

ОДЗ — нулевой шаг

Прежде чем что-то преобразовывать, выписывают условия: каждый знаменатель не равен нулю. Это область допустимых значений.

Зачем это нужно, видно из механики решения. Чтобы убрать дроби, обе части умножают на общий знаменатель. Но он содержит переменную и при некоторых $x$ обращается в нуль, а умножение на нуль превращает любое равенство в верное $0 = 0$. Так в ответе и заводятся посторонние корни — числа, которые решают преобразованное уравнение, но не годятся для исходного.

Общий знаменатель: как его находят и почему именно так

Общий знаменатель — это многочлен, который делится нацело на каждый из знаменателей.

«Разделить нацело» значит разделить без остатка: результат снова многочлен, без всяких дробей. Например, $x^2-4$ делится нацело на $x-2$, потому что $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ — второй множитель и есть результат деления. А вот на $x-3$ выражение $x^2-4$ нацело не делится: такого множителя в нём нет.

Отсюда и способ поиска:

  1. Разложить каждый знаменатель на множители.
  2. Выписать все различные множители, которые встретились хотя бы в одном знаменателе.
  3. Взять каждый из них в наибольшей встретившейся степени и перемножить.

Так получается самое маленькое выражение, внутри которого «лежит» каждый знаменатель целиком — потому оно и делится на каждый нацело.

Пример

Найти общий знаменатель для дробей со знаменателями $x^2-4$ и $x^2-4x+4$.

  1. Раскладываем: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$, а $x^2-4x+4 = (x-2)^2$.
  2. Различные множители: $(x-2)$ и $(x+2)$.
  3. Наибольшие степени: $(x-2)$ встречается во второй степени, $(x+2)$ — в первой.

Ответ: общий знаменатель $(x-2)^2(x+2)$

Проверка: $(x-2)^2(x+2)$ делится на $(x-2)(x+2)$ — в частном остаётся $(x-2)$. И делится на $(x-2)^2$ — в частном остаётся $(x+2)$. Оба деления без остатка.

Вид 1. Дробь равна нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \ne 0 \end{cases}$$
Пример

Решить $\dfrac{x^2-9}{x-3} = 0$.

  1. ОДЗ: $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
  2. Числитель: $x^2 - 9 = 0$, откуда $x = 3$ и $x = -3$.
  3. Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ — отбрасываем.

Ответ: $x = -3$

Именно так выглядит посторонний корень: формально числитель он обнуляет, но исходная дробь при $x=3$ просто не существует.

Вид 2. Дробь равна числу или выражению

Выписываем ОДЗ и умножаем обе части на знаменатель.

Пример

Решить $\dfrac{2x+1}{x-3} = 3$.

  1. ОДЗ: $x \ne 3$.
  2. Умножаем обе части на $(x-3)$: $2x + 1 = 3(x-3)$.
  3. Раскрываем: $2x + 1 = 3x - 9$, откуда $x = 10$.
  4. Проверяем ОДЗ: $10 \ne 3$ — корень годится.

Ответ: $x = 10$

Вид 3. Сумма или разность дробей

Находим общий знаменатель и умножаем на него всё уравнение целиком.

Пример

Решить $\dfrac{1}{x-2} - \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{3}$.

  1. ОДЗ: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.
  2. Знаменатели $(x-2)$, $(x+2)$ и $3$ не раскладываются дальше, общих множителей нет. Общий знаменатель — их произведение $3(x-2)(x+2)$.
  3. Умножаем каждое слагаемое: $3(x+2) - 3(x-2) = (x-2)(x+2)$.
  4. Слева: $3x + 6 - 3x + 6 = 12$. Справа: $x^2 - 4$.
  5. $x^2 - 4 = 12$, значит $x^2 = 16$ и $x = \pm 4$.
  6. Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $x = 4$; $x = -4$

Вид 4. Знаменатель раскладывается на множители

Здесь общий знаменатель не надо придумывать — он уже стоит в уравнении, просто в свёрнутом виде.

Пример

Решить $\dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{4}{x^2-4}$.

  1. Раскладываем правый знаменатель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Он и есть общий.
  2. ОДЗ: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.
  3. Умножаем всё на $(x-2)(x+2)$: $(x+2) + (x-2) = 4$.
  4. Получаем $2x = 4$, то есть $x = 2$.
  5. Но $x = 2$ не входит в ОДЗ.

Ответ: корней нет

Без ОДЗ здесь был бы записан ответ $x = 2$ — и это была бы ошибка: при $x=2$ в исходном уравнении делят на нуль.

Вид 5. Сводится к квадратному заменой

Если в уравнении дважды встречается одно и то же выражение — прямо и «вверх ногами», — помогает замена.

Пример

Решить $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{5}{2}$.

  1. ОДЗ: $x \ne 0$ и $x \ne -1$.
  2. Замена $t = \dfrac{x}{x+1}$. Тогда вторая дробь — это $\dfrac{1}{t}$, и уравнение принимает вид $t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}$.
  3. Умножаем на $2t$ (при $t \ne 0$): $2t^2 + 2 = 5t$, то есть $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
  4. $D = 25 - 16 = 9$, отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = \dfrac{1}{2}$.
  5. Возвращаемся. При $t = 2$: $\dfrac{x}{x+1} = 2$, значит $x = 2x+2$ и $x = -2$.
  6. При $t = \dfrac{1}{2}$: $\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{1}{2}$, значит $2x = x+1$ и $x = 1$.
  7. Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $x = -2$; $x = 1$

Важно запомнить!

Порядок в дробно-рациональном уравнении всегда один: сначала ОДЗ, потом общий знаменатель, потом решение целого уравнения, и в самом конце — сверка найденных корней с ОДЗ.

← 6. Линейные и квадратные уравнения. Теорем…