← Маршрут ЕГЭ
Тема 8 из 72 · Алгебра

Иррациональные уравнения. Уравнения с модулем

Уравнения с радикалами, уравнения с модулем

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 11 разделов
  1. Иррациональные уравнения
  2. А) $\sqrt{f(x)} = g(x)$
  3. Б) $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$
  4. Сумма двух корней: $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = c$
  5. Замена переменной
  6. Уравнения с модулем
  7. А) $|f(x)| = a$, где $a$ — число
  8. Б) $|f(x)| = g(x)$, где справа выражение с переменной
  9. В) $|f(x)| = |g(x)|$
  10. Г) Несколько модулей: метод интервалов
  11. Д) Замена $t = |x|$

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение — это уравнение, где переменная стоит под знаком корня. Все условия, которые приходится выписывать, следуют из двух фактов о квадратном корне:

  1. подкоренное выражение не может быть отрицательным — иначе корня просто нет;
  2. значение корня никогда не отрицательно: $\sqrt{\phantom{a}} \ge 0$.

Ничего заучивать не нужно: каждое условие ниже выводится из этих двух строк.

А) $\sqrt{f(x)} = g(x)$

$$\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$$

Откуда условие $g(x) \ge 0$. Слева стоит корень, а он неотрицателен по определению. Если две величины равны, они неотрицательны обе. Значит, правая часть тоже обязана быть неотрицательной — иначе равенство невозможно ни при каком $x$.

Почему не пишут ещё и $f(x) \ge 0$. Это условие уже спрятано в первой строке системы: $g^2(x)$ — квадрат, он неотрицателен, а значит и равное ему $f(x)$ неотрицательно автоматически. Отдельной строкой его писать незачем.

Почему возводить в квадрат вообще законно. Когда обе части неотрицательны, возведение в квадрат не меняет множество решений: из равенства следует равенство квадратов, и наоборот. Как только правая часть может стать отрицательной, обратный переход ломается — тогда и появляются посторонние корни.

Пример

Решить $\sqrt{x+3} = x - 1$.

  1. Условие: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
  2. Возводим в квадрат: $x + 3 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$.
  3. Приводим: $x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 9 + 8 = 17$, корни $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
  4. Оцениваем: $\sqrt{17} \approx 4{,}12$, поэтому $x_1 \approx 3{,}56$ и $x_2 \approx -0{,}56$.
  5. Условию $x \ge 1$ удовлетворяет только первый корень.

Ответ: $x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Второй корень отрицателен, и правая часть $x-1$ при нём отрицательна — корень из числа не может равняться отрицательному значению. Это и есть посторонний корень.

Б) $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$

$$\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$$

Откуда условие $f(x) \ge 0$. Чтобы равенство имело смысл, оба корня должны существовать, то есть нужно сразу $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$. Но первая строка системы говорит, что $f(x)$ и $g(x)$ равны между собой. Раз они равны, достаточно потребовать неотрицательность любого одного — второе получится само. Поэтому в системе пишут одно условие, а какое именно, выбирают из удобства: берут то выражение, с которым проще работать.

Зачем это условие нужно. Само по себе равенство $f(x) = g(x)$ может выполняться и там, где оба выражения отрицательны. Там корней не существует, а уравнение $f(x) = g(x)$ об этом «не знает» и выдаёт лишний корень.

Пример

Решить $\sqrt{3x-2} = \sqrt{x+6}$.

  1. Приравниваем подкоренные: $3x - 2 = x + 6$, откуда $2x = 8$ и $x = 4$.
  2. Проверяем условие: $3 \cdot 4 - 2 = 10 \ge 0$ — годится.

Ответ: $x = 4$

Пример

Решить $\sqrt{x-5} = \sqrt{2x-1}$.

  1. Приравниваем: $x - 5 = 2x - 1$, откуда $x = -4$.
  2. Проверяем условие: $x - 5 = -9 < 0$ — корня не существует.

Ответ: корней нет

Вот ради таких случаев условие и выписывают: равенство подкоренных выполнилось, а самих корней при этом нет.

Сумма двух корней: $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = c$

Возводить в квадрат сразу бесполезно — в середине появится удвоенное произведение, и корень останется. Поэтому корни убирают по одному.

  1. Уединить один корень: перенести второй в правую часть.
  2. Возвести обе части в квадрат. Один корень исчезнет, второй останется.
  3. Уединить оставшийся корень и снова возвести в квадрат.
  4. Решить полученное уравнение.
  5. Проверить каждый корень подстановкой в исходное уравнение.

Проверка на последнем шаге обязательна: при каждом возведении в квадрат могли добавиться посторонние корни, а отследить все условия в два прохода сложнее, чем просто подставить числа.

Пример

Решить $\sqrt{x+4} + \sqrt{x} = 2$.

  1. Уединяем: $\sqrt{x+4} = 2 - \sqrt{x}$.
  2. Возводим в квадрат: $x + 4 = 4 - 4\sqrt{x} + x$.
  3. Сокращаем $x$ и $4$: остаётся $0 = -4\sqrt{x}$, значит $\sqrt{x} = 0$ и $x = 0$.
  4. Проверка: $\sqrt{0+4} + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2$ — верно.

Ответ: $x = 0$

Замена переменной

Если корень встречается в уравнении несколько раз, его заменяют буквой. Замена всегда идёт с условием неотрицательности.

Пример

Решить $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$.

  1. Замена $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
  2. Уравнение принимает вид $t^2 - 5t + 6 = 0$, по Виету $t = 2$ и $t = 3$ — оба неотрицательны.
  3. Возвращаемся: $\sqrt{x} = 2$ даёт $x = 4$; $\sqrt{x} = 3$ даёт $x = 9$.

Ответ: $x = 4$; $x = 9$

Если бы получилось $t = -1$, этот корень пришлось бы отбросить сразу: $\sqrt{x}$ отрицательным не бывает.

Уравнения с модулем

Здесь работает то же правило: $|f| \ge 0$ всегда. Из него растут все условия.

А) $|f(x)| = a$, где $a$ — число

Модуль равен $a$, если подмодульное выражение отстоит от нуля на $a$ — вправо или влево. Отсюда три случая по знаку $a$:

  1. $a > 0$ — два уравнения: $f(x) = a$ или $f(x) = -a$;
  2. $a = 0$ — одно уравнение: $f(x) = 0$;
  3. $a < 0$ — корней нет: модуль не бывает отрицательным.

Б) $|f(x)| = g(x)$, где справа выражение с переменной

$$|f(x)| = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \ \text{ или } \ f(x) = -g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$$

Условие $g(x) \ge 0$ — по той же причине, что и у корня: слева величина неотрицательная, значит и справа должна быть неотрицательной.

Пример

Решить $|x - 1| = 2x - 4$.

  1. Условие: $2x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
  2. Первый случай: $x - 1 = 2x - 4$, откуда $x = 3$. Условию удовлетворяет.
  3. Второй случай: $x - 1 = -(2x-4) = -2x + 4$, откуда $3x = 5$ и $x = \dfrac{5}{3}$. Но $\dfrac{5}{3} < 2$ — не удовлетворяет.

Ответ: $x = 3$

В) $|f(x)| = |g(x)|$

$$|f(x)| = |g(x)| \iff f(x) = g(x) \ \text{ или } \ f(x) = -g(x)$$

Никаких дополнительных условий здесь нет: обе части неотрицательны сами по себе, что бы ни стояло внутри модулей.

Г) Несколько модулей: метод интервалов

Когда модулей два и больше, перебрать все сочетания знаков перебором долго. Вместо этого числовую прямую разбивают на участки, внутри которых знаки всех подмодульных выражений постоянны.

  1. Найти нули всех подмодульных выражений.
  2. Разбить этими точками числовую прямую на промежутки.
  3. На каждом промежутке определить знак каждого выражения и раскрыть модули: неотрицательное — как есть, отрицательное — со сменой знака.
  4. Решить полученное уравнение на своём промежутке.
  5. Оставить только те корни, которые попали в свой промежуток.
Пример

Решить $|x-2| + |x+1| = 5$.

Нули подмодульных: $x = 2$ и $x = -1$. Они делят прямую на три промежутка.

Промежуток $x-2$ $x+1$ Уравнение Итог
$x < -1$ − − $-(x-2)-(x+1)=5$ $x=-2$, подходит
$-1 \le x < 2$ − + $-(x-2)+(x+1)=5$ $3=5$, корней нет
$x \ge 2$ + + $(x-2)+(x+1)=5$ $x=3$, подходит

Ответ: $x = -2$; $x = 3$

На среднем промежутке переменная сократилась и осталось неверное числовое равенство — там решений нет. Это нормальный исход, а не ошибка в вычислениях.

Д) Замена $t = |x|$

Если в уравнении есть $|x|$ и $x^2$, помогает то, что $x^2 = |x|^2$.

Пример

Решить $x^2 - 5|x| + 6 = 0$.

  1. Так как $x^2 = |x|^2$, делаем замену $t = |x|$ при $t \ge 0$.
  2. Получаем $t^2 - 5t + 6 = 0$, по Виету $t = 2$ и $t = 3$.
  3. Возвращаемся: $|x| = 2$ даёт $x = \pm 2$; $|x| = 3$ даёт $x = \pm 3$.

Ответ: $x = \pm 2$; $x = \pm 3$

Каждое положительное значение $t$ даёт сразу два корня — про второй забывают чаще всего.

← 7. Уравнения n-й степени. Рациональные ура…