← Маршрут ОГЭ
Тема 1 из 72 · Алгебра

Обыкновенные дроби. Действия с дробями

Сложение, вычитание, умножение, деление дробей. Задание №6

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Обыкновенные дроби. Действия с дробями

Дробь — это число, показывающее, сколько частей от целого взято.

$$\frac{a}{b}$$

где a — числитель (сколько частей взяли), b — знаменатель (на сколько частей разделили целое).

Важно запомнить!

Знаменатель НЕ может быть равен нулю! Дробь $\frac{a}{0}$ не имеет смысла.

1. Сложение и вычитание дробей

Правило: Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю.

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$

Как найти общий знаменатель:

  • Способ 1: перемножить знаменатели
  • Способ 2 (лучший): взять наименьший общий знаменатель — наименьшее число, которое делится на оба знаменателя
Пример 1 (сложение)

Вычислите: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10}$

  1. Находим общий знаменатель: 10 — оно делится и на 5, и на 10
  2. Приводим первую дробь: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{4}{10}$
  3. Складываем: $\dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$
  4. Проверяем, можно ли сократить: 7 и 10 не имеют общих делителей

Ответ: $\dfrac{7}{10}$

Пример 2 (вычитание)

Вычислите: $\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{8}$

  1. Находим общий знаменатель: 24 — оно делится и на 12, и на 8
  2. Приводим первую дробь: $\dfrac{7}{12} = \dfrac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \dfrac{14}{24}$
  3. Приводим вторую дробь: $\dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{3}{24}$
  4. Вычитаем: $\dfrac{14}{24} - \dfrac{3}{24} = \dfrac{11}{24}$

Ответ: $\dfrac{11}{24}$

2. Умножение дробей

Правило: Чтобы умножить дроби, нужно перемножить числители и знаменатели.

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$
Пример 3 (умножение)

Вычислите: $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9}$

  1. Перемножаем числители: 3 · 8 = 24
  2. Перемножаем знаменатели: 4 · 9 = 36
  3. Получаем: $\dfrac{24}{36}$
  4. Сокращаем: $\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 : 12}{36 : 12} = \dfrac{2}{3}$

Ответ: $\dfrac{2}{3}$

Совет!

Можно сокращать ДО умножения! В примере выше: $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$. Или сокращаем: $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}$ (сократили 3 и 9, 4 и 8).

3. Деление дробей

Правило: Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на перевёрнутую вторую.

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$
Пример 4 (деление)

Вычислите: $\dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{3}$

  1. Переворачиваем вторую дробь: $\dfrac{10}{3} \to \dfrac{3}{10}$
  2. Умножаем: $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10} = \dfrac{15}{60}$
  3. Сокращаем: $\dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}$

Ответ: $\dfrac{1}{4}$

4. Смешанные числа

Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной.

Перевод в неправильную дробь:

$$a\,\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c}$$
Пример 5 (перевод в неправильную дробь)

Переведите $2\dfrac{3}{5}$ в неправильную дробь.

  1. Целая часть: 2, числитель: 3, знаменатель: 5
  2. Умножаем целую часть на знаменатель: 2 · 5 = 10
  3. Прибавляем числитель: 10 + 3 = 13
  4. Записываем над знаменателем: $\dfrac{13}{5}$

Ответ: $\dfrac{13}{5}$

Перевод из неправильной дроби в смешанное число:

Пример 6 (перевод в смешанное число)

Переведите $\dfrac{17}{4}$ в смешанное число.

  1. Делим числитель на знаменатель с остатком: 17 : 4 = 4 (остаток 1)
  2. Целая часть: 4
  3. Остаток становится числителем: 1
  4. Знаменатель остаётся тем же: 4
  5. Получаем: $4\dfrac{1}{4}$

Ответ: $4\dfrac{1}{4}$

5. Сравнение дробей

Способ 1: Привести к общему знаменателю и сравнить числители.

Способ 2: Перевести в десятичные дроби и сравнить.

Пример 7 (сравнение)

Сравните $\dfrac{3}{4}$ и $\dfrac{5}{6}$.

  1. Находим общий знаменатель: 12 — оно делится и на 4, и на 6
  2. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$
  3. $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \dfrac{10}{12}$
  4. Сравниваем: 9 < 10, значит $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$

Ответ: $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$

6. Порядок действий

Пример 8 (смешанные действия)

Вычислите: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{4}$

  1. Сначала выполняем умножение: $\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1 \cdot 3}{6 \cdot 4} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}$
  2. Складываем: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{8}$
  3. Общий знаменатель: 24 — оно делится и на 3, и на 8
  4. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{24}$, $\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{24}$
  5. $\dfrac{16}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{19}{24}$

Ответ: $\dfrac{19}{24}$

Пример 9 (со скобками)

Вычислите: $\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \dfrac{12}{5}$

  1. Вычисляем в скобках: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$
  2. Умножаем: $\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{5 \cdot 12}{12 \cdot 5} = 1$

Ответ: 1