Тема 52 из 72 · Геометрия

Задание №24: доказательства — треугольники

Как доказывать геометрические утверждения

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №24: доказательства — треугольники

Задание №24 — это задача на доказательство геометрического утверждения. Нужно не найти числовой ответ, а строго обосновать, почему некоторое утверждение верно.

Важно запомнить!

В доказательстве каждое утверждение должно быть обосновано ссылкой на теорему, признак или условие задачи. Фраза «видно по чертежу» не считается обоснованием!

1. Признаки равенства треугольников

Признак	Название	Что нужно знать
I	СУС	Две стороны и угол между ними
II	УСУ	Сторона и два прилежащих угла
III	ССС	Три стороны

Для прямоугольных треугольников дополнительно:

По гипотенузе и катету
По гипотенузе и острому углу
По двум катетам

Пример 1 (доказательство равенства)

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.

Дано: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$
По первому признаку равенства треугольников (СУС) треугольники равны

2. Признаки подобия треугольников

Признак	Название	Что нужно знать
I	УУ	Два угла
II	СУС	Две стороны пропорциональны, угол между ними равен
III	ССС	Три стороны пропорциональны

Пример 2 (доказательство подобия)

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁.

Дано: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$
По первому признаку подобия (УУ) треугольники подобны

3. Ключевые теоремы для доказательств

Равнобедренный треугольник:

$$\text{Углы при основании равны}$$

$$\text{Если два угла равны, то треугольник равнобедренный}$$

Средняя линия треугольника:

$$\text{Средняя линия } \parallel \text{ стороне и равна её половине}$$

Параллельные прямые:

Накрест лежащие углы равны → прямые параллельны
Соответственные углы равны → прямые параллельны
Односторонние углы в сумме 180° → прямые параллельны

Внешний угол треугольника:

$$\text{Внешний угол = сумма двух несмежных внутренних}$$

Пример 3 (равнобедренный треугольник)

Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Дано: $\angle A = \angle B$
По признаку равнобедренного треугольника: если два угла равны, то треугольник равнобедренный
Следовательно, $AC = BC$

4. Структура оформления доказательства

Записать «Дано» и «Доказать»
Найти пару треугольников, равенство или подобие которых даст нужный вывод
Проверить три условия нужного признака
Сделать вывод о равенстве/подобии
Вывести требуемое утверждение

5. Частые источники равных элементов

Источник	Что даёт
Общая сторона	$AB = AB$
Вертикальные углы	$\angle 1 = \angle 2$
Накрест лежащие при $\parallel$	$\angle 1 = \angle 2$
Углы при основании равнобедренного	$\angle A = \angle B$
Дано в условии	Равенство сторон/углов

6. Примеры доказательств

Пример 4 (доказательство с вертикальными углами)

Докажите, что вертикальные углы равны.

Дано: $\angle 1$ и $\angle 2$ — вертикальные
$\angle 1 + \angle 3 = 180°$ (смежные)
$\angle 2 + \angle 3 = 180°$ (смежные)
$\angle 1 = \angle 2$ (как дополнения до 180°)

Пример 5 (доказательство с параллельными)

Докажите, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.

Дано: $a \parallel b$, секущая $c$
$\angle 1 = \angle 2$ (соответственные)
$\angle 2 = \angle 3$ (вертикальные)
$\angle 1 = \angle 3$ (накрест лежащие)

Пример 6 (задание №24 ОГЭ)

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку N. Докажите, что сумма площадей треугольников ABN и CND равна сумме площадей треугольников BNC и AND.

Проведём через N прямую, параллельную основаниям
Получим два треугольника с общей высотой
$S_{\triangle ABN} + S_{\triangle CND} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 + \dfrac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2$
Так как $AB = CD$ и $h_1 + h_2 = h$ (высота параллелограмма)
$S_{\triangle ABN} + S_{\triangle CND} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h$
Аналогично $S_{\triangle BNC} + S_{\triangle AND} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot h$
Так как $AB = BC$ в параллелограмме, суммы равны

7. Типичные ошибки

Ошибка 1: Нет обоснований

Каждое утверждение должно иметь обоснование: «по условию», «по теореме», «как вертикальные» и т.д.

Ошибка 2: Путаница признаков

Не путайте признаки равенства и подобия треугольников.

← 51. Задание №23: окружности (вычисления) 53. Задание №24: доказательства — четырёхуг… →