← Маршрут ОГЭ
Тема 51 из 72 · Геометрия

Задание №23: окружности (вычисления)

Вписанные/описанные, касательные, хорды

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №23: окружности (вычисления)

Задание №23 может содержать задачу на вычисление в окружности: углы, длины хорд, расстояния от центра, радиусы.

Важно запомнить!

В задачах на окружность часто нужно провести радиус в точку касания или в середину хорды. Это даёт прямоугольный треугольник.

1. Углы, связанные с окружностью

Центральный угол:

$$\angle AOB = \smile AB$$

Вписанный угол:

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB$$

Угол между касательной и хордой:

$$\angle \text{между касательной и хордой} = \frac{1}{2} \smile AB$$

Свойства:

  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
Пример 1 (вписанный угол)

В окружности вписанный угол ABC опирается на дугу AC, равную 80°. Найдите угол ABC.

  1. Вписанный угол равен половине дуги
  2. $\angle ABC = \dfrac{80°}{2} = 40°$

Ответ: 40°

Пример 2 (угол на диаметр)

Точки A, B, C лежат на окружности, AC — диаметр. Найдите ∠ABC.

  1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
  2. $\angle ABC = 90°$

Ответ: 90°

2. Касательные и хорды

Свойство касательной:

$$\text{Радиус } \perp \text{ касательной в точке касания}$$

Отрезки касательных из одной точки:

$$PA = PB$$

Пересекающиеся хорды:

$$AK \cdot KB = CK \cdot KD$$

Касательная и секущая:

$$PT^2 = PA \cdot PB$$

Две секущие:

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$
Пример 3 (касательная и секущая)

Из точки A к окружности проведены касательная AT = 8 и секущая, пересекающая окружность в точках B и C. AB = 4. Найдите AC.

  1. $AT^2 = AB \cdot AC$
  2. $8^2 = 4 \cdot AC$
  3. $64 = 4 \cdot AC \Rightarrow AC = 16$

Ответ: 16

Пример 4 (пересекающиеся хорды)

Хорды AB и CD пересекаются в точке P. AP = 3, PB = 4, CP = 2. Найдите PD.

  1. $AP \cdot PB = CP \cdot PD$
  2. $3 \cdot 4 = 2 \cdot PD$
  3. $12 = 2 \cdot PD \Rightarrow PD = 6$

Ответ: 6

3. Радиус, диаметр, длина хорды

$$d = 2R$$
$$\text{Хорда: } AB = 2R \sin\alpha$$
$$R^2 = OM^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$$

где $OM$ — расстояние от центра до хорды.

Пример 5 (хорда и расстояние от центра)

В окружности с центром O проведена хорда AB = 16. Расстояние от центра до хорды равно 6. Найдите радиус.

  1. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: $AM = 8$
  2. $R^2 = OM^2 + AM^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
  3. $R = 10$

Ответ: 10

4. Вписанная и описанная окружности треугольника

Описанная окружность:

$$R = \frac{abc}{4S}$$
$$\text{Для прямоугольного: } R = \frac{c}{2}$$

Вписанная окружность:

$$r = \frac{S}{p}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}$$
$$\text{Для прямоугольного: } r = \frac{a+b-c}{2}$$
Пример 6 (радиус описанной окружности)

Стороны треугольника равны 13, 14, 15, площадь равна 84. Найдите радиус описанной окружности.

  1. $R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84}$
  2. $R = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8} = 8,125$

Ответ: $\dfrac{65}{8}$

Пример 7 (радиус вписанной окружности)

Площадь треугольника равна 84, полупериметр равен 21. Найдите радиус вписанной окружности.

  1. $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$

Ответ: 4

5. Алгоритм решения

  1. Отметить центр окружности и все данные
  2. Проверить наличие диаметра или прямого угла
  3. Применить свойства хорд, касательных, секущих
  4. Провести радиус в точку касания или середину хорды
  5. Свести к треугольнику
  6. Применить теорему Пифагора или косинусов

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №23 ОГЭ)

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды AB, если AB = 10, CD = 18, а расстояние от центра окружности до хорды CD равно 13.

  1. Для хорды CD: $R^2 = 13^2 + 9^2 = 169 + 81 = 250$
  2. $R = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$
  3. Для хорды AB: $R^2 = d^2 + 5^2$
  4. $250 = d^2 + 25 \Rightarrow d^2 = 225 \Rightarrow d = 15$

Ответ: 15

7. Сводная таблица

Что известноФормула
Вписанный угол $\angle = \dfrac{1}{2}\smile$
Центральный угол $\angle = \smile$
Касательная и радиус $\perp$
Касательные из одной точки $PA = PB$
Пересекающиеся хорды $AP \cdot PB = CP \cdot PD$
Касательная и секущая $PT^2 = PA \cdot PB$
Хорда и расстояние до центра $R^2 = d^2 + \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2$
Описанная окружность $R = \dfrac{abc}{4S}$
Вписанная окружность $r = \dfrac{S}{p}$
← 50. Задание №23: четырёхугольники (вычислен…