← Маршрут ОГЭ
Тема 50 из 72 · Геометрия

Задание №23: четырёхугольники (вычисления)

Трапеция, параллелограмм, ромб. Полное решение

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №23: четырёхугольники (вычисления)

Задание №23 может содержать задачу на вычисление в четырёхугольнике: параллелограмме, прямоугольнике, ромбе или трапеции.

Важно запомнить!

В задачах на четырёхугольники часто нужно свести задачу к треугольникам: провести диагональ или высоту, а затем применить теорему Пифагора или косинусов.

1. Параллелограмм

Свойства:

  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Противоположные углы равны
  • Сумма соседних углов = 180°
  • Диагонали делятся пополам

Площадь:

$$S = a \cdot h_a = ab \sin \alpha$$

Сумма квадратов диагоналей:

$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$
Пример 1 (параллелограмм)

Стороны параллелограмма равны 6 и 8, угол между ними равен 30°. Найдите площадь.

  1. $S = ab\sin\alpha = 6 \cdot 8 \cdot \sin 30°$
  2. $S = 48 \cdot \dfrac{1}{2} = 24$

Ответ: 24

2. Прямоугольник

Свойства:

  • Все углы прямые
  • Диагонали равны
  • Диагонали делятся пополам

Формулы:

$$S = a \cdot b$$
$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Пример 2 (прямоугольник)

Диагональ прямоугольника равна 10, одна сторона равна 6. Найдите вторую сторону и площадь.

  1. $b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
  2. $S = 6 \cdot 8 = 48$

Ответ: 8, 48

3. Ромб

Свойства:

  • Все стороны равны
  • Диагонали перпендикулярны
  • Диагонали — биссектрисы углов
  • Диагонали делятся пополам

Площадь:

$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a^2 \sin \alpha$$

Важно: диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами $\dfrac{d_1}{2}$ и $\dfrac{d_2}{2}$.

Пример 3 (ромб)

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите сторону ромба.

  1. Диагонали делятся пополам: $\dfrac{6}{2} = 3$, $\dfrac{8}{2} = 4$
  2. По теореме Пифагора: $a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
  3. $a = 5$

Ответ: 5

Пример 4 (площадь ромба)

Сторона ромба равна 5, один из углов равен 60°. Найдите площадь.

  1. $S = a^2 \sin\alpha = 5^2 \cdot \sin 60°$
  2. $S = 25 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{25\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\dfrac{25\sqrt{3}}{2}$

4. Трапеция

Свойства:

  • Две стороны параллельны (основания)
  • В равнобедренной трапеции: боковые стороны равны, диагонали равны, углы при основаниях равны

Формулы:

$$S = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$
$$m = \frac{a+b}{2} \quad \text{(средняя линия)}$$

Равнобедренная трапеция:

$$c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$
Пример 5 (трапеция)

Основания трапеции равны 13 и 23, высота равна 5. Найдите площадь и среднюю линию.

  1. $S = \dfrac{(13+23) \cdot 5}{2} = \dfrac{36 \cdot 5}{2} = 90$
  2. $m = \dfrac{13+23}{2} = 18$

Ответ: $S = 90$, $m = 18$

Пример 6 (равнобедренная трапеция)

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 12, высота равна 3. Найдите боковую сторону.

  1. Разность оснований: $12 - 4 = 8$
  2. Половина разности: $\dfrac{8}{2} = 4$
  3. $c^2 = h^2 + 4^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
  4. $c = 5$

Ответ: 5

5. Универсальная формула площади

$$S_{\text{четырёхугольника}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$$

где $\varphi$ — угол между диагоналями.

Пример 7 (площадь через диагонали)

Диагонали четырёхугольника равны 10 и 12, угол между ними равен 30°. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 30°$
  2. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 120 \cdot \dfrac{1}{2} = 30$

Ответ: 30

6. Алгоритм решения

  1. Определить тип четырёхугольника
  2. Отметить все данные на чертеже
  3. Провести диагональ или высоту, если нужно
  4. Свести к треугольникам
  5. Применить нужные теоремы
  6. Проверить ответ

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №23 ОГЭ)

В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 14° и ∠BDC = 106°. Найдите угол ABD.

  1. AB = CD — трапеция равнобедренная
  2. ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 14° + 106° = 120°
  3. В равнобедренной трапеции: ∠A = ∠D = 120°
  4. ∠ABD = 180° - 120° - 14° = 46°

Ответ: 46°

← 49. Задание №23: треугольники (вычисления)