← Маршрут ОГЭ
Тема 49 из 72 · Геометрия

Задание №23: треугольники (вычисления)

Площадь, элементы, подобие. Полное решение

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №23: треугольники (вычисления)

Задание №23 — это геометрическая задача на вычисление. Нужно найти числовое значение: сторону, угол, площадь, высоту, медиану.

Важно запомнить!

В задании №23 по треугольникам чаще всего нужно скомбинировать теорему Пифагора, теорему синусов/косинусов и формулы площади.

1. Специальные отрезки треугольника

Медиана:

$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$

где $m_a$ — медиана к стороне $a$.

Свойство медианы: медианы пересекаются в одной точке (центроид) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота:

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

Биссектриса:

$$l_a = \frac{2bc \cdot \cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}$$

Свойство биссектрисы: биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$
Пример 1 (медиана)

В треугольнике ABC стороны AB = 6, BC = 8, AC = 10. Найдите медиану, проведённую к стороне AC.

  1. $a = AC = 10$, $b = AB = 6$, $c = BC = 8$
  2. $m_a^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = \dfrac{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - 10^2}{4}$
  3. $m_a^2 = \dfrac{72 + 128 - 100}{4} = \dfrac{100}{4} = 25$
  4. $m_a = 5$

Ответ: 5

Пример 2 (биссектриса)

В треугольнике ABC AB = 6, AC = 8, BC = 10. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса угла A делит сторону BC.

  1. По свойству биссектрисы: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
  2. $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

Ответ: $BD:DC = 3:4$

2. Площадь треугольника

$$S = \frac{1}{2}ah_a$$
$$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$$
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad \text{(формула Герона)}$$
$$S = rp$$
$$S = \frac{abc}{4R}$$
Пример 3 (площадь через Герона)

Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найдите площадь.

  1. $p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$
  2. $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$

Ответ: 84

3. Теорема косинусов и синусов

Теорема косинусов:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$

Когда применять:

  • Известны две стороны и угол между ними → найти третью сторону
  • Известны три стороны → найти угол

Теорема синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

Когда применять: известны сторона и противолежащий угол, плюс ещё один элемент.

Пример 4 (теорема косинусов)

В треугольнике ABC AB = 5, BC = 9, AC = 8. Найдите cos∠ABC.

  1. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\angle ABC$
  2. $64 = 25 + 81 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \cos\angle ABC$
  3. $64 = 106 - 90 \cdot \cos\angle ABC$
  4. $90 \cdot \cos\angle ABC = 42$
  5. $\cos\angle ABC = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$

Ответ: $\dfrac{7}{15}$

Пример 5 (теорема синусов)

В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 12√6. Найдите AC.

  1. По теореме синусов: $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$
  2. $\dfrac{12\sqrt{6}}{\sin 45°} = \dfrac{AC}{\sin 60°}$
  3. $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  4. $AC = 12\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sin 60°}{\sin 45°} = 12\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = 12\sqrt{6} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{2}} = 12 \cdot 3 = 36$

Ответ: 36

4. Прямоугольный треугольник

$$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$$
Пример 6 (прямоугольный треугольник)

В треугольнике ABC ∠C = 90°, sin B = 3/14, AB = 56. Найдите AC.

  1. $\sin B = \dfrac{AC}{AB}$
  2. $\dfrac{3}{14} = \dfrac{AC}{56}$
  3. $AC = \dfrac{3 \cdot 56}{14} = 12$

Ответ: 12

5. Равнобедренный треугольник

Свойства:

  • Углы при основании равны
  • Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают
Пример 7 (равнобедренный треугольник)

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине B равен 40°. Найдите углы при основании.

  1. $\angle A + \angle C = 180° - 40° = 140°$
  2. $\angle A = \angle C = 70°$

Ответ: 70° и 70°

6. Алгоритм решения

  1. Построить чертёж, отметить все данные
  2. Определить тип треугольника
  3. Выбрать нужные формулы
  4. Найти промежуточные величины
  5. Вычислить искомое
  6. Проверить ответ

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №23 ОГЭ)

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 25 и 65. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

  1. $b = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60$
  2. $h = \dfrac{ab}{c} = \dfrac{25 \cdot 60}{65} = \dfrac{1500}{65} = \dfrac{300}{13}$

Ответ: $\dfrac{300}{13}$

← 48. Пробник: первая часть + задания 20-22