Тема 54 из 72 · Геометрия

Задание №25: сложные задачи — треугольники

Комбинированные задачи повышенной сложности

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №25: сложные задачи — треугольники

Задание №25 — самое сложное геометрическое задание ОГЭ. Оно обычно содержит две части: доказательство и вычисление.

Важно запомнить!

В задании №25 часто нужно сделать дополнительное построение. Вторая часть условия (что нужно найти) часто подсказывает, какое построение сделать в первой части.

1. Особенности задания 25

Две части: доказать и найти
Нужна цепочка из 3–6 логических шагов
Комбинируются несколько теорем
Часто требуется дополнительное построение

2. Дополнительные построения

Построение	Когда помогает	Что даёт
Высота	Произвольный треугольник	Прямоугольные треугольники
Параллельный отрезок	Нужны подобные треугольники	Подобие, пропорции
Продолжение медианы	Работа с медианами	Параллелограмм
Средняя линия	Нужны отношения отрезков	Отношение 1:2, параллельность

Пример 1 (дополнительное построение)

В треугольнике ABC проведена медиана AD. Докажите, что площадь треугольника ABD равна площади треугольника ACD.

Проведём высоту AH из вершины A к стороне BC
$S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$
$S_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot CD \cdot AH$
Так как $AD$ — медиана, $BD = CD$
Следовательно, $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

3. Комбинация теорем

Типичная цепочка:

Подобие треугольников → отношение сторон
Теорема косинусов → угол или сторона
Формула площади → итоговая величина

Пример 2 (комбинация теорем)

В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 12√6. Найдите AC.

По теореме синусов: $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$
$\dfrac{12\sqrt{6}}{\sin 45°} = \dfrac{AC}{\sin 60°}$
$\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$AC = 12\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sin 60°}{\sin 45°} = 36$

4. Работа с отношениями

Площади треугольников с общей высотой:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$$

Площади треугольников с общим углом:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1 \cdot b_1}{a_2 \cdot b_2}$$

Пример 3 (отношение площадей)

В треугольнике ABC точка M делит сторону AB в отношении AM:MB = 2:3. Найдите отношение площадей треугольников AMC и BMC.

Треугольники $AMC$ и $BMC$ имеют общую высоту из вершины C
$\dfrac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle BMC}} = \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{2}{3}$

Ответ: 2:3

5. Стратегия решения

Прочитать условие полностью
Сделать аккуратный чертёж
Начать с доказательной части
Ввести переменные, если нужно
Проверить ответ

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 4 (задание №25 ОГЭ)

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

Пусть $O$ — точка пересечения $AD$ и $BE$
$AD$ — медиана, $O$ делит $AD$ в отношении 2:1, считая от вершины
$AO:OD = 2:1$, $AD = 24 \Rightarrow AO = 16$, $OD = 8$
$BE$ — биссектриса, $BE = 24$, $BO:OE = ?$
Из условия перпендикулярности: $AO \perp BO$
В прямоугольном треугольнике $AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2$
По свойству биссектрисы: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AE}{EC}$
Решая систему, находим: $AB = 20$, $BC = 24$, $AC = 28$

Ответ: 20, 24, 28

Пример 5 (задание №25 ОГЭ)

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 26 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.

∠A + ∠D = 90° (по условию)
Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E
∠AED = 180° - (∠A + ∠D) = 90°
△AED ∼ △BEC (по двум углам)
$\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AD}{BC} = \dfrac{26}{11}$
$AE - BE = AB = 12$
Решая систему: $AE = 26$, $BE = 14$
$ED = 13$, $EC = 5,5$
Радиус описанной окружности около △ABE: $R = \dfrac{AB}{2\sin\angle AEB} = \dfrac{12}{2\sin 90°} = 6$

Ответ: 6

7. Частые ошибки

Ошибка 1: Нет дополнительного построения

Если задача не решается напрямую — попробуйте провести высоту, параллель или продолжить отрезок.

Ошибка 2: Путаница в отношениях

Медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон.

← 53. Задание №24: доказательства — четырёхуг… 55. Задание №25: сложные задачи — окружности →