← Маршрут ОГЭ
Тема 55 из 72 · Геометрия

Задание №25: сложные задачи — окружности

Многоугольники и окружности. Комбинированные задачи

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №25: сложные задачи — окружности

Задание №25 может содержать задачу с окружностями: вписанные углы, касательные, хорды, секущие, две окружности.

Важно запомнить!

В задачах с окружностями ключевые шаги: найти прямые углы (радиус к касательной, угол на диаметр) и использовать свойства хорд и секущих.

1. Опорные факты об окружности

Углы:

$$\text{Вписанный угол} = \frac{1}{2}\text{дуги}$$
$$\text{Центральный угол} = \text{дуга}$$
$$\text{Угол между касательной и хордой} = \frac{1}{2}\text{дуги}$$
$$\text{Угол между двумя хордами} = \frac{1}{2}(\text{сумма дуг})$$
$$\text{Угол между секущими} = \frac{1}{2}(\text{разность дуг})$$

Отрезки:

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD \quad \text{(пересекающиеся хорды/секущие)}$$
$$PT^2 = PA \cdot PB \quad \text{(касательная и секущая)}$$
Пример 1 (углы в окружности)

В окружности угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен 50°. Найдите сумму дуг, на которые опираются эти углы.

  1. Угол между хордами = $\dfrac{1}{2}(\smile_1 + \smile_2)$
  2. $50° = \dfrac{1}{2}(\smile_1 + \smile_2)$
  3. $\smile_1 + \smile_2 = 100°$

Ответ: 100°

2. Две окружности

Касающиеся окружности:

$$\text{Внешнее касание: } O_1O_2 = R + r$$
$$\text{Внутреннее касание: } O_1O_2 = R - r$$

Общая хорда:

Линия центров $\perp$ общей хорде и делит её пополам.

Пример 2 (две касающиеся окружности)

Две окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

  1. $O_1O_2 = R + r = 36 + 45 = 81$
  2. Общие касательные $AC$ и $BD$ параллельны
  3. Расстояние между $AB$ и $CD$ = $O_1O_2 = 81$

Ответ: 81

3. Вписанные и описанные многоугольники

Вписанный четырёхугольник:

$$\angle A + \angle C = 180°, \quad \angle B + \angle D = 180°$$

Описанный четырёхугольник:

$$AB + CD = BC + AD$$
Пример 3 (вписанный четырёхугольник)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. ∠A = 70°. Найдите ∠C.

  1. Во вписанном четырёхугольнике: $\angle A + \angle C = 180°$
  2. $70° + \angle C = 180°$
  3. $\angle C = 110°$

Ответ: 110°

4. Дополнительные построения

ПостроениеЧто даёт
Радиус в точку касания Прямой угол с касательной
Перпендикуляр из центра к хорде Прямоугольный треугольник
Центр к вершинам вписанного многоугольника Равнобедренные треугольники
Общая касательная Прямые углы
Хорда до диаметра Прямой угол (вписанный)

5. Стратегия решения

  1. Определить все окружности, центры, радиусы
  2. Найти все прямые углы
  3. Использовать свойства касательных и хорд
  4. Свести к треугольникам
  5. Вычислить ответ

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 4 (задание №25 ОГЭ)

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

  1. $O_1O_2 = 36 + 45 = 81$
  2. Общие касательные параллельны
  3. Расстояние между AB и CD = $O_1O_2 = 81$

Ответ: 81

Пример 5 (задание №25 ОГЭ)

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 12 и CD = 18 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

  1. ∠AKB = 60° — угол между диагоналями
  2. Вписанный четырёхугольник: $\angle A + \angle C = 180°$
  3. По теореме синусов для △ABK и △CDK
  4. $AB = 12$, $CD = 18$
  5. Из подобия треугольников находим $R = 6\sqrt{7}$

Ответ: $6\sqrt{7}$

7. Частые ошибки

Ошибка 1: Путаница углов

Вписанный угол = ½ дуги, а не дуге. Центральный угол = дуге.

Ошибка 2: Неправильное применение свойств

Для касающихся окружностей: при внешнем касании $O_1O_2 = R + r$, при внутреннем — $R - r$.

← 54. Задание №25: сложные задачи — треугольн…