Тема 64 из 72 · Геометрия

Марафон: клетка и высказывания (№18, №19)

Быстрое повторение

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон: клетка и высказывания (№18, №19)

Задание №18 — вычисления с фигурами на клетчатой бумаге (площадь, длина).

Задание №19 — оценка истинности геометрических утверждений.

Важно запомнить!

В №18 используй формулу Пика или метод дополнения. В №19 внимательно читай каждое слово — часто ловушки скрыты в формулировках!

1. Задание №18 — фигуры на клетчатой бумаге

Формула Пика:

$$S = B + \frac{\Gamma}{2} - 1$$

где $B$ — число узлов внутри фигуры, $\Gamma$ — число узлов на границе.

Метод дополнения:

$$S = S_{\text{прямоугольника}} - S_{\text{лишних треугольников}}$$

Длина отрезка:

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

Пример 1 (формула Пика)

Найдите площадь многоугольника, если внутри 8 узлов, на границе — 6 узлов.

$B = 8$, $\Gamma = 6$
$S = 8 + \dfrac{6}{2} - 1 = 8 + 3 - 1 = 10$

Ответ: 10

Пример 2 (метод дополнения)

На клетчатой бумаге 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Прямоугольник: 4×4 = 16
Лишние треугольники: 3 + 3 + 4 = 10
$S = 16 - 10 = 6$

Ответ: 6

Пример 3 (длина отрезка)

На клетчатой бумаге 1×1 найдите длину отрезка между точками (2;1) и (5;5).

$\Delta x = 5 - 2 = 3$, $\Delta y = 5 - 1 = 4$
$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

2. Задание №19 — верные/неверные утверждения

Часто встречающиеся ВЕРНЫЕ утверждения:

Утверждение	Пояснение
Сумма углов треугольника = 180°	Теорема
Вертикальные углы равны	Свойство
Вписанный угол = половине центрального	Теорема
Диагонали параллелограмма делятся пополам	Свойство
Касательная перпендикулярна радиусу	Свойство

Часто встречающиеся НЕВЕРНЫЕ утверждения (ловушки):

Ловушка	Почему неверно
«Диагонали любого параллелограмма перпендикулярны»	Только у ромба
«Диагонали любого прямоугольника перпендикулярны»	Только у квадрата
«Если углы равны, то они вертикальные»	Могут быть просто равными
«Вписанный угол равен центральному»	В 2 раза меньше
«Все высоты треугольника равны»	Только в равностороннем

Пример 4 (верное утверждение)

Верно ли: «Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам»?

Это свойство параллелограмма
Утверждение верно

Ответ: верно

Пример 5 (неверное утверждение)

Верно ли: «Диагонали любого параллелограмма перпендикулярны»?

Перпендикулярность диагоналей — свойство ромба
Контрпример: прямоугольник со сторонами 3 и 5
Утверждение неверно

Ответ: неверно

Пример 6 (утверждение с исключением)

Верно ли: «Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу»?

Это теорема о вписанном угле
Утверждение верно

Ответ: верно

3. Стратегия для №19

Прочитай каждое утверждение отдельно
Найди ключевые слова (всегда, любой, существует)
Вспомни контрпримеры
Выбери верные утверждения
Запиши ответ цифрами без пробелов

4. Сводная таблица

Тема	Ключевой факт	Частая ошибка
Параллелограмм	Диагонали делятся пополам	Думают, что диагонали перпендикулярны
Ромб	Диагонали перпендикулярны	Думают, что диагонали равны
Прямоугольник	Диагонали равны	Думают, что диагонали перпендикулярны
Вписанный угол	Равен половине дуги	Путают с центральным углом
Центральный угол	Равен дуге	Путают с вписанным

5. Частые ошибки

Ошибка 1: Неправильный счёт узлов в №18

Считай ВСЕ узлы на границе, включая вершины. Не пропускай!

Ошибка 2: Контрпримеры в №19

Если есть хоть один контрпример — утверждение неверно.

← 63. Марафон: задачи по тексту (№1-5, №12) 65. Стратегия экзамена ОГЭ →