← Маршрут ОГЭ
Тема 66 из 72 · Алгебра

Полный справочник: алгебра

Все формулы алгебры ОГЭ на одном листе

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Числа и вычисления

Этот раздел содержит основные формулы и правила для быстрого повторения перед экзаменом.

Важно запомнить!

Этот материал нужно знать наизусть. Он пригодится в заданиях №6–9, №13 и других.

1. Проценты

$$p\% \text{ от } a = \frac{a \cdot p}{100}$$
$$\text{Увеличить на } p\%: \quad a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$$
$$\text{Уменьшить на } p\%: \quad a \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$$
Пример

Найдите 20% от 300.

$\dfrac{300 \cdot 20}{100} = 60$

2. Степени

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
$$a^m : a^n = a^{m-n}$$
$$(a^m)^n = a^{mn}$$
$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Пример

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{7} = 128$

3. Корни

$$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a,b \ge 0)$$
$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)$$
$$(\sqrt{a})^2 = a$$
$$\sqrt{a^2} = |a|$$

4. Уравнения

Линейное уравнение:

$$ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$$

Квадратное уравнение:

$$ax^2 + bx + c = 0$$
$$D = b^2 - 4ac$$
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Теорема Виета (для $x^2 + px + q = 0$):

$$x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$$

Дробно-рациональные уравнения:

  1. Найти ОДЗ (знаменатель $\neq 0$)
  2. Умножить на общий знаменатель
  3. Решить уравнение
  4. Проверить корни по ОДЗ
Пример

Решите уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = 3$.

5. Неравенства

Важное правило:

$$a < b \Rightarrow -a > -b$$

При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Квадратные неравенства:

  • Найти корни
  • Определить знак $a$ (ветви параболы)
  • Выбрать нужные промежутки

Метод интервалов:

  1. Найти нули числителя и знаменателя
  2. Отметить на прямой
  3. Определить знаки
  4. Выбрать нужные промежутки

Система неравенств:

Решение — пересечение решений всех неравенств.

6. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

7. Сводная таблица

ТемаФормула
Проценты $p\% = \dfrac{p}{100}$
Увеличение на $p\%$ $\cdot \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$
Уменьшение на $p\%$ $\cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$
Степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Корни $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac$
Корни квадратного $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
Теорема Виета $x_1+x_2 = -p$, $x_1x_2 = q$

8. Частые ошибки

Ошибка 1: Забывают ОДЗ

В дробных уравнениях всегда проверяй ОДЗ!

Ошибка 2: Знак неравенства

При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Ошибка 3: $a^2-b^2$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а не $(a-b)^2$.

← 65. Стратегия экзамена ОГЭ