← Маршрут ОГЭ
Тема 67 из 72 · Функции

Полный справочник: функции и прогрессии

Все формулы функций и последовательностей ОГЭ

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Функции и графики

Этот раздел содержит основные виды функций, их графики и ключевые свойства. Пригодится в заданиях №11, №12, №22.

Важно запомнить!

Каждая функция имеет свой «узнаваемый» график. Научитесь определять тип функции по формуле — это ключ к успеху в задании №11.

1. Линейная функция

$$y = kx + b$$
ПараметрЗначениеЧто означает
$k > 0$ Угловой коэффициент положительный Функция возрастает
$k < 0$ Угловой коэффициент отрицательный Функция убывает
$b$ Свободный член Точка пересечения с $Oy$: $(0; b)$
Пример 1 (линейная функция)

Постройте график $y = 2x - 1$.

  1. $k = 2 > 0$ — функция возрастает
  2. $b = -1$ — пересекает $Oy$ в точке $(0; -1)$
  3. Две точки: $(0; -1)$ и $(1; 1)$

2. Квадратичная функция

$$y = ax^2 + bx + c$$
ПараметрЗначениеЧто означает
$a > 0$ Ветви вверх Вершина — точка минимума
$a < 0$ Ветви вниз Вершина — точка максимума
$c$ Свободный член Точка пересечения с $Oy$: $(0; c)$
$$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = f(x_0)$$
Пример 2 (квадратичная функция)

Найдите вершину параболы $y = x^2 - 4x + 3$.

  1. $a = 1, b = -4$
  2. $x_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
  3. $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$

Ответ: $(2; -1)$

3. Гипербола (обратная пропорциональность)

$$y = \frac{k}{x}$$
ПараметрЧетверти
$k > 0$ I и III
$k < 0$ II и IV
Пример 3 (гипербола)

В каких четвертях находится график $y = -\dfrac{3}{x}$?

  1. $k = -3 < 0$
  2. График во II и IV четвертях

Ответ: II и IV

4. Другие функции

$$y = \sqrt{x}, \quad x \ge 0$$

Возрастает, проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.

$$y = |x|$$

V-образный график, вершина в $(0; 0)$, симметричен относительно $Oy$.

5. Арифметическая прогрессия

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$
Пример 4 (арифметическая прогрессия)

Дано: $a_1 = 3$, $d = 4$. Найдите $a_{10}$ и $S_{10}$.

  1. $a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39$
  2. $S_{10} = \dfrac{3 + 39}{2} \cdot 10 = 210$

6. Геометрическая прогрессия

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)$$
Пример 5 (геометрическая прогрессия)

Дано: $b_1 = 2$, $q = 3$. Найдите $b_5$.

  1. $b_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$

7. Сводная таблица

ФункцияФормулаГрафик
Линейная $y = kx + b$ Прямая
Квадратичная $y = ax^2 + bx + c$ Парабола
Обратная пропорциональность $y = \dfrac{k}{x}$ Гипербола
Корень $y = \sqrt{x}$ Ветвь параболы
Модуль $y = |x|$ V-образный
← 66. Полный справочник: алгебра