← Маршрут ОГЭ
Тема 68 из 72 · Геометрия

Полный справочник: геометрия — треугольники

Все формулы треугольников ОГЭ

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Геометрия: треугольники

Этот раздел содержит основные свойства треугольников, формулы площади и подобия. Пригодится в заданиях №15, №18, №23.

Важно запомнить!

Сумма углов треугольника всегда 180°. Это свойство используется в большинстве геометрических задач.

1. Основные свойства треугольников

Сумма углов:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

Внешний угол:

$$\angle \text{внешний} = \angle A + \angle B$$

Неравенство треугольника:

$$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$$

Равнобедренный треугольник:

  • Углы при основании равны
  • Высота к основанию = медиана = биссектриса
Пример 1 (сумма углов)

В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 60°. Найдите ∠C.

  1. $\angle C = 180° - 40° - 60° = 80°$

Ответ: 80°

2. Площадь треугольника

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad \text{(формула Герона)}$$
$$p = \frac{a+b+c}{2}$$
Пример 2 (площадь)

Сторона треугольника равна 15, высота к ней — 22. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 22 = 165$

Ответ: 165

3. Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Тригонометрия:

$$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$$

Радиусы:

$$r = \frac{a+b-c}{2}, \quad R = \frac{c}{2}$$
Пример 3 (теорема Пифагора)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.

  1. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10

Пример 4 (тригонометрия)

В прямоугольном треугольнике $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$. Найдите $\cos \alpha$.

  1. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
  2. $\cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$
  3. $\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$

Ответ: $\dfrac{4}{5}$

4. Подобие треугольников

Признаки подобия:

  • УУ — по двум углам
  • СУС — две стороны пропорциональны, угол между ними равен
  • ССС — три стороны пропорциональны
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$$
$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$
Пример 5 (подобие)

Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$. Площадь первого = 48. Найдите площадь второго.

  1. $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2 = 4$
  2. $S_2 = \dfrac{48}{4} = 12$

Ответ: 12

5. Сводная таблица

ТемаФормула
Сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$
Теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$
Площадь $S = \dfrac{ah}{2} = \dfrac{ab\sin C}{2}$
Формула Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Радиус вписанной $r = \dfrac{S}{p}$
Радиус описанной $R = \dfrac{abc}{4S}$
← 67. Полный справочник: функции и прогрессии