← Маршрут ОГЭ
Тема 69 из 72 · Геометрия

Полный справочник: геометрия — окружности

Все формулы окружностей ОГЭ

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Геометрия: окружности

Этот раздел содержит основные формулы и свойства окружностей. Пригодится в заданиях №16, №17, №23.

Важно запомнить!

Вписанный угол равен половине дуги, центральный — дуге. Это ключевое правило для всех задач об окружностях.

1. Длина окружности и площадь круга

$$C = 2\pi R$$
$$S = \pi R^2$$

Длина дуги:

$$\ell = \frac{\pi R \alpha}{180°}$$

Площадь сектора:

$$S_{\text{сектора}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$$
Пример 1 (длина окружности)

Найдите длину окружности радиусом 5.

  1. $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$

Ответ: $10\pi$

Пример 2 (площадь сектора)

Радиус круга равен 6, центральный угол 60°. Найдите площадь сектора.

  1. $S = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \dfrac{36\pi}{6} = 6\pi$

Ответ: $6\pi$

2. Углы в окружности

Центральный угол:

$$\angle AOB = \smile AB$$

Вписанный угол:

$$\angle ACB = \frac{1}{2}\smile AB$$

Важные свойства:

  • Вписанные углы на одну дугу равны
  • Вписанный угол на диаметр = 90°
Пример 3 (вписанный угол)

Вписанный угол опирается на дугу 80°. Найдите угол.

  1. $\angle = \dfrac{80°}{2} = 40°$

Ответ: 40°

Пример 4 (угол на диаметр)

Точки A, B, C лежат на окружности, AC — диаметр. Найдите ∠ABC.

  1. Вписанный угол на диаметр = 90°

Ответ: 90°

3. Касательные и хорды

Касательная:

$$OA \perp \ell$$

Отрезки касательных:

$$MA = MB$$

Угол между касательной и хордой:

$$\angle = \frac{1}{2}\smile AB$$
Пример 5 (касательная)

К окружности проведена касательная в точке A. ∠ABO = ? (O — центр)

  1. Радиус $OA \perp$ касательной
  2. ∠ABO = 90°

Ответ: 90°

4. Вписанная и описанная окружности треугольника

Вписанная окружность:

$$r = \frac{S}{p}$$

Описанная окружность:

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{a}{2\sin A}$$

Для прямоугольного треугольника:

$$r = \frac{a+b-c}{2}, \quad R = \frac{c}{2}$$
Пример 6 (вписанная окружность)

Площадь треугольника = 84, полупериметр = 21. Найдите $r$.

  1. $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$

Ответ: 4

Пример 7 (описанная окружность)

В прямоугольном треугольнике катеты 6 и 8. Найдите $R$.

  1. $c = 10$
  2. $R = \dfrac{c}{2} = 5$

Ответ: 5

5. Сводная таблица

ТемаФормула
Длина окружности $C = 2\pi R$
Площадь круга $S = \pi R^2$
Длина дуги $\ell = \dfrac{\pi R\alpha}{180°}$
Площадь сектора $S = \dfrac{\pi R^2\alpha}{360°}$
Центральный угол $\angle = \smile$
Вписанный угол $\angle = \dfrac{1}{2}\smile$
Вписанная окружность $r = \dfrac{S}{p}$
Описанная окружность $R = \dfrac{a}{2\sin A}$
← 68. Полный справочник: геометрия — треуголь…